`1)` Ta có:
`\qquad \hat{BAC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>\hat{EAF}=90°`
Xét tứ giác `AEHF` có:
`\qquad \hat{EAF}=90°`
`\qquad \hat{AEH}=90°` (do $HE\perp AB$ tại $E$)
`\qquad \hat{AFH}=90°` (do $HF\perp AC$ tại $F$)
`=>AEHF` là hình chữ nhật
Gọi $I$ là giao điểm của $AH$ và $EF$; $M$ là giao điểm của $OA$ và $E F$
`=>IA=IE`
`=>∆AIE` cân tại $I$
`=>\hat{IAE}=\hat{IEA}`
`=>\hat{BAH}=\hat{MEA}`
Ta có:
`\qquad OA=OB=R`
`=>∆OAB` cân tại $O$
`=>\hat{OBA}=\hat{OAB}=\hat{MAE}`
$\\$
$\quad ∆ABH$ vuông tại $H$
`=>\hat{BAH}+\hat{ABH}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{MEA}+\hat{MAE}=90°`
`=>\hat{MAE}=180°-(\hat{MEA}+\hat{MAE})=180°-90°=90°`
`=>OA`$\perp EF$ tại $M$
$\\$
`2)` Vì `OA`$\perp EF$ tại $M$
`=>OA`$\perp PQ$ tại $M$
`=>M` là trung điểm $PQ$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)
`=>OA` là trung trực $PQ$
`=>AP=AQ`
`=>\stackrel\frown{AP}=\stackrel\frown{AQ}` (liên hệ dây và cung)
Mà `\hat{ABP}=1/ 2sđ\stackrel\frown{AP}` (góc nội tiếp chắn cung $AP$)
`\qquad \hat{APE}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AQ}` (góc nội tiếp chắn cung $AQ$)
`=>\hat{ABP}=\hat{APE}`
$\\$
Xét $∆ABP$ và $∆APE$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{ABP}=\hat{APE}`
`=>∆ABP∽∆APE` (g-g)
`=>{AB}/{AP}={AP}/{AE}`
`=>AP^2=AE.AB`
$\\$
Xét $∆ABH$ có $HE\perp AB$
`=>AH^2=AE.AB` (hệ thức lượng)
`=>AH^2=AP^2`
`=>AH=AP`
`=>∆APH` cân tại $A$
$\\$
`3)` Vì $ABCK$ nội tiếp $(O)$
`=>\hat{DKC}=\hat{DBA}` (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)
$\\$
Xét $∆DKC$ và $∆DBA$ có:
`\qquad \hat{D}` chung
`\qquad \hat{DKC}=\hat{DBA}`
`=>∆DKC∽∆DBA` (g-g)
`=>{DK}/{DB}={DC}/{DA}`
`=>DK.DA=DB.DC` $(1)$
$\\$
Ta có: `\hat{DFC}=\hat{AFE}` (hai góc đối đỉnh)
`=\hat{AHE}` (do $AEHF$ là hình chữ nhật)
`=\hat{EBH}` (cùng phụ `\hat{EHB}`)
`=>\hat{DFC}=\hat{DBE}`
$\\$
Xét $∆DFC$ và $∆DBE$ có:
`\qquad \hat{D}` chung
`\qquad \hat{DFC}=\hat{DBE}`
`=>∆DFC∽∆DBE` (g-g)
`=>{DF}/{DB}={DC}/{DE}`
`=>DE.DF=DB.DC` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>DE.DF = DK. DA`
`=>{DK}/{DF}={DE}/{DA}`
$\\$
Xét $∆DKF$ và $∆DEA$ có:
`\qquad \hat{D}` chung
`\qquad {DK}/{DF}={DE}/{DA}`
`=>∆DKF∽∆DEA` (c-g-c)
`=>\hat{DKF}=\hat{DEA}`
`=> AEFK` là một tứ giác nội tiếp (vì có góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
