`a)` Ta có:
`\qquad \hat{CED}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>CE`$\perp AD$ tại $E$
$\\$
Vì $AC$ là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$
`=>AC`$\perp OC$
`=>∆ACO` vuông tại $C$
`=>AO^2=AC^2+OC^2` (định lý Pytago)
`=>(3R)^2=AC^2+R^2`
`=>AC^2=9R^2-R^2=8R^2`
`=>AC=2\sqrt{2}R`
$\\$
`\qquad ∆ACD` vuông tại $C$ có $CE\perp AD$
`=>1/{CE^2}=1/{AC^2}+1/{CD^2}` (hệ thức lượng)
`=1/{8R^2}+1/{(2R)^2}=3/{8R^2}`
`=>CE^2={8R^2}/3`
`=>CE={2\sqrt{2}R}/\sqrt{3}={2\sqrt{6}R}/3`
Vậy `CE={2\sqrt{6}R}/3`
$\\$
`b)` Xét $∆ACE$ và $∆ADC$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{ACE}=\hat{ADC}` (cùng chắn cung $CE$)
`=>∆ACE∽∆ADC` (g-g)
`=>{AC}/{AD}={AE}/{AC}`
`=>AC^2=AD.AE` $(1)$
$\\$
`\qquad AB;AC` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$
`=>AB=AC`
Mà $OB=OC=R$
`=>OA` là trung trực $BC$
Vì $H$ là giao điểm $OA$ và $BC$
`=>OA`$\perp BC$ tại $H$
$\\$
Xét $∆ACO$ có $CH\perp OA$
`=>AC^2=AH.AO` (hệ thức lượng) $(2)$
Từ `(1);(2)=>AH.AO=AD.AE`
`=>{AH}/{AE}={AD}/{AO}`
$\\$
Xét $∆AHE$ và $∆ADO$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad {AH}/{AE}={AD}/{AO}`
`=>∆AHE∽∆ADO` (c-g-c)
`=>\hat{AHE}=\hat{ADO}`
`=>DEHO` nội tiếp (vì có góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
`=>D;E;O;H` cùng thuộc $1$ đường tròn
$\\$
`c)` Gọi $M$ là giao điểm của $CF$ và $BI$
Vì $DEHO$ nội tiếp (c/m trên)
`=>\hat{OHD}=\hat{OED}` (cùng chắn cung $OD$)
Vì `OE=OD=R`
`=>∆ODE` cân tại $O$
`=>\hat{ODE}=\hat{OED}`
$\\$
`=>\hat{OHD}=\hat{ODE}=\hat{ADO}`
Mà `\hat{AHE}=\hat{ADO}` (câu b)
`=>\hat{AHE}=\hat{OHD}`
$\\$
Ta có:
`\qquad \hat{BHA}=\hat{BHO}=90°`
`=>\hat{AHE}+\hat{BHE}=\hat{BHD}+\hat{OHD}`
`=>\hat{BHE}=\hat{BHD}`
`=>HB` là phân giác `\hat{EHD}`
Mà `\hat{DBC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>HB`$\perp FD$ tại $B$
`=>HB` vừa là phân giác và đường cao $∆FDH$
`=>∆FDH` cân tại $H$
`=>HB` là trung tuyến $∆FDH$
`=>B` là trung điểm $FD$
$\\$
`=>CB` vừa là đường cao và trung tuyến $∆CFD$
`=>∆CFD` cân tại $C$
`=>\hat{CFD}=\hat{CDF}`
$\\$
Ta có: `\hat{CDF}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $BC$ của $(O)$
`=>\hat{CFD}=\hat{ACB}`
`=>\hat{BFM}=\hat{ACB}` $(3)$
$\\$
`\qquad I` là trung điểm $AO$ (gt)
`=>BI` là trung tuyến $∆ABO$ vuông tại $B$
`=>BI=AI=1/ 2 AO`
`=>∆IAB` cân tại $I$
`=>\hat{IAB}=\hat{IBA}`
$\\$
`\qquad \hat{OIB}` là góc ngoài $∆IAB$
`=>\hat{OIB}=\hat{IAB}+\hat{IBA}=2\hat{IAB}=\hat{BAC}`
($AO$ là phân giác `\hat{CAB}` do $AB;AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau)
$\\$
Vì `AB=AC=>∆ABC` cân tại $A$
`=>\hat{ABC}=\hat{ACB}`
$\\$
Ta có: $FD$//$AO$ (cùng $\perp BC$)
`=>\hat{FBM}=\hat{OIB}` (hai góc so le trong)
`=\hat{BAC}=180°-2\hat{ACB}` $(4)$
$\\$
Từ `(3);(4)=>\hat{FBM}=180°-2\hat{BFM}`
`=>\hat{FBM}+2\hat{BFM}=180°=\hat{FBM}+\hat{BFM}+\hat{BMF}`
`=>\hat{BFM}=\hat{BMF}`
Mà `\hat{BFM}=\hat{BDC}` (do $∆CFD$ cân tại $C$)
`=>\hat{BMF}=\hat{BDC}`
`=>BDCM` nội tiếp (vì có góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
Vì $B;C;D\in (O)$
`=>M\in (O)`
Vậy `BI` và `CF` cắt nhau tại điểm $M$ trên đường tròn $(O)$
