Đáp án+Giải thích các bước giải:
a) Xét `2 ΔABN` và `ΔACM` ta có:
`∠A` chung
`AN=AM`(gt)
`AB=AC`(t/c `Δ` cân)
`⇒ΔABN=ΔACM``(c-g-c)`
`⇒BN=CM`(2 cạnh tương ứng)
Nối `MN`
Ta có: `AM=AN;AB=AC`
`⇒MB=AB-AM`
`⇒NC=AC-AN`
`→MB=NC`
Xét `2ΔMNB` và `ΔNMC` ta có:
`MN` cạnh chung
`MB=NC`(`cmt`)
`NB=MC`(`cmt`)
`⇒ΔMNB=ΔNMC``(c-c-c)`
`⇒∠MNB=∠NMC`(`2` góc tương ứng)
`→ΔMNI` cân tại `I⇒MI=NI`
Ta có:`MI=NI;NB=MC`
`⇒BI=BN-NI`
`⇒CI=MC-MI`
`→BI=CI⇒ΔBIC` cân tại `I`
b)Gọi `H` là giao điểm của `AI` và `BC`
Ta có:`ΔMNB=ΔNMC(c-c-c)`
`⇒∠MBN=∠NCM` hay `∠ABI=∠ACI`
Xét `2ΔABI` và `ΔACI` ta có:
`∠ABI=∠ACI(cmt)`
`AB=AC`(t/c `Δ` cân)
`BI=CI(cmt)`
`⇒ΔABI=ΔACI(c-g-c)`
`⇒∠A1=∠A2`(`2` góc tương ứng)
Xét `2ΔABH` và `ΔACH` ta có:
`∠A1=∠A2(cmt)`
`AB=AC`(t/c `Δ` cân)
`∠B=∠C`(t/c `Δ` cân)
`⇒ΔABH=ΔACH(g-c-g)`
`⇒BH=CH`(`2`cạnh tương ứng)→`H` là trung điểm của `BC`(`1`)
`⇒∠H1=∠H2`(`2` góc tương ứng)
Ta có: `∠H1+∠H2=`$180^{o}$
Mà:`∠H1=∠H2=`$180^{o}$ `: 2`
`⇒∠H1=∠H2=`$90^{o}$
`→AH⊥BC` hay `AI⊥BC`(`2`)
Từ(`1`) và (`2`):
⇒`AH` là đường trung trực của `BC` hay `AI` là đường trung trực của `BC`
