Đáp án: `(x;y)∈{(0;0);(1;1);(\frac{1-\sqrt{5}}{6};\frac{1+\sqrt{5}}{6});(\frac{1+\sqrt{5}}{6};\frac{1-\sqrt{5}}{6})}`
Giải thích các bước giải:
$\begin{cases}2x^2-x=y^2\\2y^2-y=x^2\end{cases}⇔\begin{cases}2x^2-x=y^2(1)\\(2x^2-x)-(2y^2-y)=y^2-x^2(2)\end{cases}$
Ta có: $(2)⇔2x^2-x-2y^2+y-y^2+x^2=0$
$⇔3(x^2-y^2)-(x-y)=0$
$⇔3(x-y)(x+y)-(x-y)=0$
$⇔(x-y)(3x+3y-1)=0$
$⇔\left[ \begin{array}{l}x-y=0\\3x+3y-1=0\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}x=y\\x=\dfrac{1-3y}{3}\end{array} \right.$
-Nếu $x=y,$ thay vào $(1)$ ta được:
$2x^2-x=x^2⇔x^2-x=0$
$⇔x(x-1)=0⇔\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.$
+Với $x=0⇒y=0$
+Với $x=1⇒y=1$
-Nếu $x=\dfrac{1-3y}{3}$, thay vào $(1)$ ta được:
`2(\frac{1-3y}{3})^2-\frac{1-3y}{3}=y^2`
$⇔2(1-3y)^2-3(1-3y)=9y^2$
$⇔2(9y^2-6y+1)-(3-9y)=9y^2$
$⇔18y^2-12y+2-3+9y-9y^2=0$
$⇔9y^2-3y-1=0$
Ta có: $Δ=(-3)^2-4.9.(-1)=45>0$
Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt:
`y_1=\frac{-(-3)+\sqrt{45}}{2.9}=\frac{1+\sqrt{5}}{6}`
`y_2=\frac{-(-3)-\sqrt{45}}{2.9}=\frac{1-\sqrt{5}}{6}`
+Với `y=\frac{1+\sqrt{5}}{6}⇒x=\frac{1-\sqrt{5}}{6}`
+Với `y=\frac{1-\sqrt{5}}{6}⇒x=\frac{1+\sqrt{5}}{6}`
