Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$a)$ Do $H,E$ là hình chiếu của $A$ trên $BD,CD(GT)$
$⇒\begin{cases}AH⊥BD\\AE⊥CD\end{cases}⇒\begin{cases}∠AHD=90^o\\∠AED=90^o\end{cases}$
$⇒$ Tứ giác $AHED$ nội tiếp ($2$ đỉnh kề nhìn cạnh chứa đỉnh còn lại dưới $2$ góc vuông) (đpcm)
$b)$ Do tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(GT)$
$⇒∠BAD+∠BCD=180^o(*)$ (tổng $2$ góc đối bằng $180^o$) và $∠ACB=∠ADB(1)$ ($2$ góc nội tiếp chắn cung $AB$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$)
$(*)⇒∠BCD=180^o-∠BAD=180^o-90^o=90^o$
$⇒BC⊥CD$
Mà $AE⊥CD$ (câu $a$)
$⇒BC//AE⇒∠BCA=∠CAE(2)$ ($2$ góc so le trong)
Do tứ giác $AHED$ nội tiếp (câu $a$)
$⇒∠AEH=∠ADH=∠ADB(3)$ ($2$ góc nội tiếp chắn cung $AH$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AHED$)
Từ $(1);(2);(3)⇒∠AEH=∠CAE⇒∠AEI=∠IAE(4)$
$⇒ΔAIE$ cân tại $I⇒IA=IE(**)$
Ta có: $∠AEI+∠IEC=∠AEC=90^o(5)$
Xét $ΔAEC$ vuông tại $E⇒∠EAC+∠ACE=90^o⇒∠EAI+∠ICE=90^o(6)$
Từ $(4);(5);(6)⇒∠IEC=∠ICE$
$⇒ΔIEC$ cân tại $I⇒IE=IC(***)$
Từ $(**);(***)⇒IA=IC⇒I$ là trung điểm $AC(đpcm)$
