Đáp án:

 C1: $D$

C2: $C$

Giải thích các bước giải:

C1:

 Ta có:

$y = \dfrac{{2x}}{{x + 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

Khi đó:

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(a;b)$ là:

$y = \dfrac{2}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + b$

Như vậy:

Giao điểm của tiếp tuyến với trục $Ox$ và $Oy$ lần lượt là: $A\left( {\dfrac{{ - b{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{2} + a;0} \right);B\left( {0;\dfrac{{ - 2a}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + b} \right)$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
{S_{OAB}} = \dfrac{1}{4}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{4}\\
 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{ - b{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{2} + a} \right|.\left| {\dfrac{{ - 2a}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + b} \right| = \dfrac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{2a - b{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{2}} \right|.\left| {\dfrac{{2a - b{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \right| = \dfrac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {2a - b{{\left( {a + 1} \right)}^2}} \right)^2} - {\left( {a + 1} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {2a - \dfrac{{2a}}{{a + 1}}{{\left( {a + 1} \right)}^2}} \right)^2} - {\left( {a + 1} \right)^2} = 0\left( {do:M \in \left( C \right) \Rightarrow b = \dfrac{{2a}}{{a + 1}}} \right)\\
 \Leftrightarrow {\left( {2a - 2a\left( {a + 1} \right)} \right)^2} - {\left( {a + 1} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {2{a^2}} \right)^2} - {\left( {a + 1} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {2{a^2} - a - 1} \right)\left( {2{a^2} + a + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2{a^2} - a - 1 = 0\\
2{a^2} + a + 1 = 0\left( {vn} \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 1\left( c \right)\\
a = \dfrac{{ - 1}}{2}\left( l \right)
\end{array} \right.\left( {do:a \in N} \right)\\
 \Leftrightarrow a = 1\\
 \Rightarrow b = \dfrac{{2a}}{{a + 1}} = 1\\
 \Rightarrow P = \dfrac{{{a^2} + b + 2021}}{7} = \dfrac{{{1^2} + 1 + 2021}}{7} = 289
\end{array}$

Vậy $P=289$

C2:

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot SA\\
SA \cap AB = A
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AH \bot BC\\
AH \bot SB\\
SB \cap BC = B
\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AH \bot SC\\
AH \bot SB\\
AH \bot BC
\end{array} \right.
\end{array}$

$\to $ Đáp án $C$