Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b+ c = 3$ Chứng minh rằng $\dfrac{a}{bc + 1} + \dfrac{b}{ac + 1} + \dfrac{c}{ab + 1} \geq \dfrac{3}{2}$

vuchatchoi575

2 năm trước

Loga Sinh Học lớp 12

0 lượt thích 19 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

hhung4981

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$3=a+b+c≥3\sqrt[3]{abc}$

$⇒27abc≤27⇒abc≤1$

Do $a;b;c>0$ nên áp dụng $BĐT$ Nesbit ta có:

`VT=\frac{a^2}{abc+a}+\frac{b^2}{abc+b}+\frac{c}{abc+c}`

`≥\frac{(a+b+c)^2}{abc+a+abc+b+abc+c}`

`≥\frac{3^2}{3.1+3}=\frac{3}{2}(đpcm)`

Vậy bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra $⇔a=b=c=1$

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

dolananh917

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt: $P=\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}$

Có: $P=\dfrac{a^2}{abc+a}+\dfrac{b^2}{abc+b}+\dfrac{c^2}{abc+c}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$P \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3abc+a+b+c}=\dfrac{9}{3abc+3}=\dfrac{3}{abc+1}$ $(1)$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:

`abc \leq (\frac{a+b+c}{3})^3=(\frac{3}{3})^3=1`

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Từ đó suy ra: $abc+1 \leq 1+1=2$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $P \geq \dfrac{3}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

the ship carried coal. it arrived last night viết lại với carrying giải thích

Hay viết một đoạn văn 20 dòng nói về tiết học zoom của em

Giúúúppp mình. Hứa votes tim đầy đủ!

Giúp mình trả lời câu hỏi này với ạ. Mai mình thi rồi

tìm ra lỗi sai (ko cần sửa) và giải thích sai ở đâu `10`This book is about geologically features ò Vietnam , `11,` A number of cattle has died from an unknowwn disease lm nhanh giúp mik nha

Đề mới ra 😭 Mong m.n giải quyết nhanh giúp mình 😊 Hứa vote 5 sao 🥺

Ai giúp mình câu này với, Cảm ơn nhiều ❤❤❤

nếu ko khí ở 30 độ C chứa 15 gam / cm3 thì độ ẩm tương đối là a.50% b.60% c.70% d.80%

vẽ chibi vui.🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰🥰 rảnh

viết 1 đoạn văn diễn dịch từ 3 đến 5 câu bàn về mục đích học tập đúng đắn có sử dụng 1 câu cảm thán hoặc cầu khiến

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến