`x^2-(a-1)x-a^2+a-2=0`
`a)` Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì: `ac<0`
`<=>-a^2+a-2<0`
`<=>a^2-a+2>0`
`<=>a^2-2a. 1/2+1/4-1/4+2>0`
`<=>(a-1/2)^2+7/4\geq7/4>0∀m∈RR`
`=>` Phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.
`b)` `Delta=[-(a-1)]^2-4.1.(-a^2+a-2)`
`=(a-1)^2-4(-a^2+a-2)`
`=a^2-2a+1+4a^2-4a+8`
`=5a^2-6a+9`
`=(a\sqrt{5})^2-2.a\sqrt{5}. frac{6}{2\sqrt{5}}+9/5-9/5+9`
`=(a\sqrt{5}-frac{3\sqrt{5}}{5})^2+36/5\geq36/5>0∀m∈RR`
`=>` Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=a-1\\x_1x_2=-a^2+a-2\end{cases}$
Lại có: `x_1^2+x_2^2`
`=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2`
`=(a-1)^2-2(-a^2+a-2)`
`=a^2-2a+1+2a^2-2a+4`
`=3a^2-4a+5`
`=(a\sqrt{3})^2-2.a\sqrt{3}. frac{4}{2\sqrt{3}}+4/3-4/3+5`
`=(a\sqrt{3}-frac{2\sqrt{3}}{3})^2+11/3\geq11/3`
Để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là `11/3` thì `a\sqrt{3}-frac{2\sqrt{3}}{3}=0`
`<=>a=2/3`
Vậy `a=2/3` là giá trị cần tìm.
