Đáp án: $(x;y)∈\{(0;1);(6;1)\}$
Giải thích các bước giải:
Xét các trường hợp:
-Trường hợp $1:$ Nếu $y=0$ thay vào $PT$ ta được:
$x^2-6x=5^0-5=-4$
$⇔x^2-6x+9=5$
$⇔(x-3)^2=5$
$⇔x-3=±\sqrt{5}$
$⇔x=3±\sqrt{5}$ (không thỏa mãn)
-Trường hợp $2:$ Nếu $y>0$
$PT⇔5^y=x^2-6x+5=(x-1)(x-5)(*)$
Do $y∈N*⇒5^y\vdots 5$
Do $y∈N*⇒5^y>0$
$⇒(x-1)(x-5)>0$
$⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x-1>0\\x-5>0\end{cases}\\\begin{cases}x-1<0\\x-5<0\end{cases}\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x>1\\x>5\end{cases}\\\begin{cases}x<1\\x<5\end{cases}\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}x>5\\x<1\end{array} \right.$
+Nếu $x<1⇔x=0$ (do $x∈N$)
Thay $x=0$ vào $(*)$ ta được:
$5^y=(0-1)(0-5)=5⇔y=1$ (thỏa mãn)
+Nếu $x>5$
Do $x∈N;x>5⇒x-1∈N;x-5∈N$
Ta thấy $x-1>x-5$ đồng thời $2$ thừa số này không thể đồng thời chia hết cho $5$
Do vậy, $(*)⇔\begin{cases}x-1=5^y\\x-5=1\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x=6\\5^y=6-1=5\end{cases}⇔\begin{cases}x=6\\y=1\end{cases}$ (thỏa mãn)
