Đáp án:
`P_{min}=-1/2` khi `x=9/4;y=1/4`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`P=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+1`
`=(x-2\sqrt{xy}-2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+y+1)+2(y-2.\sqrt{y}. 1/2+1/4)-1/2`
`=(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1)^2+2(\sqrt{y}-1/2)^2-1/2`
Với mọi `x\ge 0;y\ge 0` ta có:
$\begin{cases}(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1)^2\ge 0\\(\sqrt{y}-\dfrac{1}{2})^2\ge 0\end{cases}$
`=>P=(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1)^2+2(\sqrt{y}-1/2)^2-1/2`
`\ge 0+2.0-1/ 2=-1/ 2`
Dấu "=" xảy ra khi:
$\quad \begin{cases}(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1)^2=0\\(\sqrt{y}-1/2)^2=0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}\sqrt{x}=\sqrt{y}-1\\\sqrt{y}=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}\sqrt{x}=\dfrac{1}{ 2}-1\\\sqrt{y}=\dfrac{1}{2}\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}x=\dfrac{9}{4}\\y=\dfrac{1}{4}\end{cases}\ (thỏa\ đk)$
Vậy $GTNN$ của $P$ là `-1/2` khi `x=9/4;y=1/4`
