Trước hết , ta chứng minh `m/n` luôn nhỏ hơn `( m + 1 )/( n + 1 )` với `m/n < 1`
Ta có : `m/n = (( n + 1 ) . m )/(( n + 1 ) . n ) = ( mn + m )/( n^2 + n )`
`( m + 1 )/( n + 1 ) = ( n . ( m + 1 ))/( n . ( n + 1 ) = ( nm + n )/( n^2 + n )`
Vì `mn + m < nm + n ( m/n < 1 ⇒ m < n )` `⇒ ( m + 1 )/( n + 1 ) > m/n`
Trở lại bài toán , ta có :
`M = 1/3 . 5/7 . 9/11 .... 97/99 < 2/4 . 6/8 . 10/12 .... 98/100`
`M = 1/3 . 5/7 . 9/11 .... 97/99 < 1/2 . 3/4 . 5/6 .... 49/50`
Mà ` 1/2 . 3/4 . 5/6 .... 49/50 < 2/3 + 4/5 + 6/7 + .... + 50/51`
`⇒ M . M < ( 1/2 . 3/4 . 5/6 .... 49/50 ) . ( 2/3 + 4/5 + 6/7 + .... + 50/51 )`
`⇔ M^2 < ( 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ..... 50 )/( 2 . 3 . 4 . 5 . 6 ...... 51 )`
`⇔ M^2 < 1/51 < 1/10`
`⇒ M < 1/10` `text{( Điều phải chứng minh )}`
`text{Xin câu trả lời hay nhất cho nhóm .}`
