Đáp án +Giải thích các bước giải:
a.Có D∈(O)
⇒$\widehat{ADB}=90^0$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒AD⊥BC
Xét $\triangle$ABC vuông cân tại A có AD⊥BC
⇒D là trung điểm BC
⇒AD=$\frac{1}{2}$ BC=BD
⇒sđ$\overparen{AD}$nhỏ=sđ$\overparen{BD}$nhỏ=$\frac{1}{2}$sđ$\overparen{AB}$=$90^0$
b..Có D∈(O) và AD=BD
⇒ D là điểm chính giữa $\overparen{AB}$
⇒ OD⊥AB
⇒$\widehat{AOD}=90^0$
Có $\triangle$ABC vuông cân tại A
⇒$\widehat{OAE}=90^0$
DE là tiếp tuyến (O)
⇒OD⊥DE
⇒$\widehat{ODE}=90^0$
Xét tg AODE có:$\widehat{OAE}=90^0$=$\widehat{ODE}$=$\widehat{AOD}$
⇒ Tg AODE là hcn
Xét hcn AODE có: OD=OA=R
⇒Tg AODE là hình vuông
c.Có tg AODE là hình vuông (cmt)
⇒ AE=OA=$\frac{1}{2}$ AB=$\frac{1}{2}$ AC
⇒E là trung điểm AC
Xét $\triangle$ABC vuông cân tại A có : E là trung điểm AC
O là trung điểm AB
⇒ OE là đường trung bình $\triangle$ABC
⇒ OE║BC
d. Có F∈(O)
⇒$\widehat{AFB}=90^0$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒AF⊥BE
Xét $\triangle$ABE vuông tại A có AF⊥BE
⇒ EF.BE=AE²
⇒ EF.BE=EC² ( Do E là trung điểm AC)
⇒$\frac{EC}{EF}$ =$\frac{BE}{EC}$
Xét $\triangle$EFC và $\triangle$ECB có:
chung $\widehat{CEB}$
$\frac{EC}{EF}$ =$\frac{BE}{EC}$
⇒$\triangle$EFC $\sim$ $\triangle$ECB (c.g.c)
⇒ $\widehat{ECF}$=$\widehat{EBC}$
Mà $\widehat{EBC}$=$\widehat{EDF}$ ( góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
⇒$\widehat{ECF}$=$\widehat{EDF}$
⇒ Tg CDFE nội tiếp
Vậy bài toán được chứng minh.
