Đáp án:
$y = (C_1+C_2x)e^{-x} + x^2 + x + 3$
Giải thích các bước giải:
$\quad y'' + 2y' + y = x^2 + 5x + 7\qquad (*)$
Xét phương trình đặc trưng:
$k^2 + 2k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = - 1$
$\Rightarrow$ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:
$\quad y = (C_1 + C_2x)e^{-x}$
Ta có:
$\quad x^2 + 5x + 7 = e^{0x}(x^2 + 5x + 7)$
Do $0$ không là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng của $(*)$ có dạng:
$\quad y = e^{0x}(Ax^2 + Bx + C)$
$\Leftrightarrow y = Ax^2 + Bx + C$
$\Rightarrow y' = 2Ax + B$
$\Rightarrow y'' = 2A$
Thay vào $(*)$ ta được:
$\quad 2A + 2(2Ax + B) + Ax^2 + Bx + C = x^2 + 5x + 7$
$\Leftrightarrow Ax^2 + (4A + B)x + 2A + 2B + C = x^2 + 5x + 7$
Đồng nhất hệ số, ta được:
$\quad \begin{cases}A = 1\\4A + B = 5\\2A + 2B + C = 7\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}A = 1\\B = 1\\C = 3\end{cases}$
Do đó nghiệm riêng của $(*)$ là: $y = x^2 + x + 3$
Vậy phương trình vi phân đã cho có nghiệm là:
$y = (C_1+C_2x)e^{-x} + x^2 + x + 3$
