PT: $x^{2}$ - 5x + m = 0 (1)
Để PT (1) có 2 nghiệm dương ta có:
Δ ≥ 0; P > 0; S > 0.
*Δ ≥ 0:
=> $b^{2}$ - 4ac ≥ 0
=> $(-5)^{2}$ - 4 . 1 . m ≥ 0
=> 25 - 4m ≥ 0
=> m ≤ 25/4 (2)
*P > 0:
=> $\frac{c}{a}$ > 0
=> $\frac{m}{1}$ > 0
=> m > 0 (3)
*S > 0:
=> $\frac{-b}{a}$ > 0
=> $\frac{-(-5)}{1}$ > 0
=> 5 > 0 (luôn đúng)
Từ (2) và (3), vậy để PT (1) có 2 nghiệm dương thì:
=> 0 < m ≤ 25/4 (*)
Theo ĐL Vi-ét, ta có:
=> $\left \{ {{x1+x2=\frac{-b}{a}} \atop {x1.x2=\frac{c}{a}}} \right.$
=> $\left \{ {{x1+x2=\frac{-(-5)}{1}} \atop {x1.x2=\frac{m}{1}}} \right.$
=> $\left \{ {{x1+x2=5} \atop {x1.x2=m}} \right.$ (4)
Ta lại có:
x1$\sqrt{x2}$ + x2$\sqrt{x1}$ = 6
=> $(x1\sqrt{x2} + x2\sqrt{x1})^{2}$ = $6^{2}$
=> $x1^{2}$.x2 + 2.x1$\sqrt{x2}$.x2$\sqrt{x1}$ + $x2^{2}$.x1 = 36
=> $x1^{2}$.x2 + $x2^{2}$.x1 + 2.x1.x2.$\sqrt{x1.x2}$ = 36
=> x1.x2(x1+x2) + 2.x1.x2.$\sqrt{x1.x2}$ = 36 (5)
Thế (4) vào (5), ta được PT:
=> 5m + 2.m.$\sqrt{m}$ = 36
=> 5m + 2.m.$\sqrt{m}$ - 36 = 0
Đặt $\sqrt{m}$ = a, ta có:
=> 5$a^{2}$ + 2.$a^{2}$.a - 36 = 0
=> 2$a^{3}$ + 5$a^{2}$ - 36 = 0
=> a = $\sqrt{m}$ = 2
=> m = $2^{2}$ = 4 (tmđk *)
Vậy m = 4 thì PT (1) có 2 nghiệm dương x1, x2 thỏa mãn x1$\sqrt{x2}$ + x2$\sqrt{x1}$ = 6.
Xin câu trả lời hay nhất ạ :3