Để chứng minh điểm $H$ thuộc đường tròn $(I)$ ngoại tiếp $ΔOMN$ thì ta đi chứng minh tứ giác $MHON$ nội tiếp
$AB , AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$
$→AB=AC$
Lại có $OB=OC → OA$ là đường trung trực của $BC$
$→BH ⊥ AO$
→ $BH$ là đường cao của $ΔABO$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABO$ , ta có :
$AB^2=AH.AO$
Mà $AB^2=AM.AN → AH.AO = AM.AN$
$→\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AM}{AO}$
Xét 2 tam giác : $ΔAMH$ và $ΔAON$ có :
$\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AM}{AO}$
$\widehat{NAO}$ : góc chung
$→ΔAMH ~ ΔAON$
$→\widehat{AHM}=\widehat{ANO}$
Mà $\widehat{AHM}+\widehat{MHO}=180°$
$→\widehat{MON}+\widehat{MHO}=180°$
Tứ giác $MHON$ có tổng hai góc đối bằng $180°$
$→MHON$ nội tiếp
→ ĐPCM
