Đáp án:
m=-3
Giải thích các bước giải:
\(y' = \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 3\)
\(\begin{array}{l}
y' = 0\\
\to \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 3 = 0
\end{array}\)
a) Xét TH y'=0 có 2 nghiệm trái dấu
\(\begin{array}{l}
\to \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) < 0\\
\to - 3 < m < 1
\end{array}\)
⇒ Với \( \to \left[ \begin{array}{l}
- 3 \ge m\\
m \ge 1
\end{array} \right.\) y'=0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
b) Để y'=0 có 2 nghiệm
\(\begin{array}{l}
\to \left\{ \begin{array}{l}
m - 1 \ne 0\\
\Delta \ge 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{m^2} - 2m + 1 - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) \ge 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{m^2} - 2m + 1 - {m^2} - 2m + 3 \ge 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
1 \ge m
\end{array} \right.\\
\to 1 > m\\
Vi - et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{m - 1}} = 2\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{m + 3}}{{m - 1}}
\end{array} \right.\\
{x_1}^2 + {x_2}^2 = 4\\
\to {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} = 4\\
\to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4\\
\to 4 - 2.\dfrac{{m + 3}}{{m - 1}} = 4\\
\to 2.\dfrac{{m + 3}}{{m - 1}} = 0\\
\to m + 3 = 0\\
\to m = - 3
\end{array}\)
