Đáp án:
`a,`
`text{Vì ΔABC cân tại A}`
`-> hat{ABC} = hat{ACB} =(180^o - hat{A})/2 (1)`
$\\$
`text{Ta có :}` \(\left\{ \begin{array}{l}AB + BD = AD\\AC + CE = AE\end{array} \right.\)
`text{mà AB = AC (Vì ΔABC cân tại A), BD = CE (giả thiết)}`
`-> AD = AE`
`->` `text{ΔADE cân tại A}`
`-> hat{ADE} = hat{AED} = (180^o - hat{A})/2 (2)`
$\\$
`text{Từ (1) và (2)}`
`-> hat{ABC} = hat{ADE} (= (180^o - hat{A})/2)`
`text{mà 2 góc này ở vị trí đồng vị}`
`->` `text{DE//BC}`
$\\$
$\\$
$b,$
`text{Ta có :}` \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{ABC}=\widehat{MBD}\\ \widehat{ACB}=\widehat{NCE}\end{array} \right.\) `text{(2 góc đối đỉnh)}`
`text{mà}` `hat{ABC} = hat{ACB}` `text{(Vì ΔABC cân tại A}`
`-> hat{MBD} = hat{NCE}`
$\\$
`text{Xét ΔMBD và ΔNCE có :}`
`hat{DMB} = hat{ENC} = 90^o`
`text{BD = CE (giả thiết)}`
`hat{MBD} = hat{NCE}` `text{(chứng minh trên)}`
`->` `text{ΔMBD = ΔNCE (cạnh huyền - góc nhọn)}`
`->` `text{BM = CN (2 cạnh tương ứng)}`
$\\$
$\\$
$c,$
`text{Ta có :}` \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^o\\ \widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^o\end{array} \right.\) `text{(2 góc kề bù)}`
`text{mà}` `hat{ABC} = hat{ACN}` `text{(Vì ΔABC cân tại A)}`
`-> hat{ABM} = hat{ACN}`
$\\$
`text{Xét ΔABM và ΔACN có :}`
`hat{ABM} = hat{ACN}` `text{(chứng minh trên)}`
`text{BM = CN (chứng minh trên)}`
`text{AB = AC (Vì ΔABC cân tại A)}`
`->` `text{ΔABM = ΔACN (cạnh - góc - cạnh)}`
`->` `text{AM = AN (2 cạnh tương ứng)}`
`->` `text{ΔAMN cân tại A}`
$\\$
$\\$
$d,$
`text{Gọi O là giao của BI và AM, F là giao của CI và AN}`
$\\$
`text{Xét ΔOMB và ΔFNC có :}`
`hat{MOB} = hat{NFC} = 90^o`
`text{BM = CN (chứng minh trên)}`
`hat{OMB} = hat{FNC}` `text{(Vì ΔAMN cân tại A)}`
`->` `text{ΔOMB = ΔFNC (cạnh huyền - góc nhọn)}`
`->` `text{OM = FN (2 cạnh tương ứng)}`
`text{Ta có :}` \(\left\{ \begin{array}{l}AO = AM - OM\\AF = AN - FN\end{array} \right.\)
`text{mà AM = AN (Vì ΔAMN cân tại A), OM = FN (chứng minh trên)}`
`->` `text{AO = AF}`
`text{Xét ΔOAI và ΔFAI có :}`
`hat{AOI} = hat{AFI} = 90^o`
`text{AO = AF (chứng minh trên)}`
`text{AI chung}`
`->` `text{ΔOAI = ΔFAI (cạnh huyền - cạnh góc vuông)}`
`-> hat{OAI} = hat{FAI}` `text{(2 góc tương ứng)}`
`text{hay AI là tia phân giác của}` `hat{MAN} (1)`
$\\$
`text{Ta có :}` \(\left\{ \begin{array}{l}BI = OI - OB\\CI = FI - FC\end{array} \right.\)
`text{mà OI = FC (Vì ΔOAI=ΔFAI), OB = FF (Vì ΔOMB=ΔFBC)}`
`-> BI = CI`
`text{Xét ΔBAI và ΔCAI có :}`
`text{AB = AC (Vì ΔABC cân tại A)}`
`text{AI chung}`
`text{BI = CI (chứng minh trên)}`
`->` `text{ΔBAI = ΔCAI (cạnh - cạnh - cạnh)}`
`-> hat{BAI} = hat{CAI}` `text{(2 góc tương ứng)}`
`text{hay AI là tia phân giác của}` `hat{BAC} (2)`
$\\$
`text{Từ (1) và (2)}`
`->` `text{AI là tia phân giác chung của 2 góc}` `hat{BAC}, hat{MAN}`
