Đáp án+Giải thích các bước giải:
M = $\frac{1}{x^4 + y^4 }$ + $x^{2}$ $y^{2}$
Ta có : $x^{2}$ + $y^{2}$ + $x^{2}$ $y^{2}$ = 8
→ $x^{2}$ + $y^{2}$ + $x^{2}$ $y^{2}$ + 1 = 9
→ ( $x^{2}$ + $x^{2}$ $y^{2}$ ) + ( $y^{2}$ + 1 ) = 9
→ $x^{2}$ ( $y^{2}$ + 1 ) + ( $y^{2}$ + 1 ) = 9
→ ( $y^{2}$ + 1 ) ( $x^{2}$ + 1 ) = 9
Mà 9 = ( -3 ) ( -3 ) = 3 . 3 = 1 .9 = ( -1 ) . ( - 9)
⇒ Ta có các cặp ( $y^{2}$ + 1 ; $x^{2}$ + 1 ) ∈ { ( -3 , -3 ) ; ( 3 , 3 ) ; ( -1 , -9 ) ; ( 1 , 9 ) ; ( -9 , -1 ) ; ( 9 , 1 ) }
Mà ( $y^{2}$ + 1 ) , ( $x^{2}$ + 1 ) ≥ 1
⇒ ( $y^{2}$ + 1 ; $x^{2}$ + 1 ) ∈ { ( 3 , 3 ) ; ( 1 , 9 ) ; ( 9 , 1 ) }
TH1 : $\left \{ {{x^2 + 1 = 3} \atop {y^2 + 1 = 3}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{x^2 = 2} \atop {y^2 = 2}} \right.$
⇒ Thay vào M = $\frac{33}{8}$
TH2 : $\left \{ {{x^2 + 1 = 1} \atop {y^2 + 1 = 9}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{x^2 = 0} \atop {y^2 = 8}} \right.$
⇒ Thay vào M = $\frac{1}{64}$
TH3 : $\left \{ {{x^2 + 1 = 9} \atop {y^2 + 1 = 1}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{x^2 = 8} \atop {y^2 = 0}} \right.$
⇒ Thay vào M = $\frac{1}{64}$
Vậy M ∈ { $\frac{33}{8}$ ; $\frac{1}{64}$ }
⇔ GTLN của M là $\frac{33}{8}$ với $\left \{ {{x^2 = 2} \atop {y^2 = 2}} \right.$
