Đáp án:

Giải thích các bước giải: Hướng dẫn

1. Dễ cậu tự làm

2. $2Δ$ vuông $ABE; CBE$ vuông tại $E$

có đường cao lần lượt là $EH; EK$ nên có hệ thức lượng:

$ BH.BA = BE² = BK.BC (1)(đpcm)$

Vẽ tiếp tuyến $Ax$ của $(O) ⇒ Ax⊥OA $

$ BCEFnt ⇒ ∠AFE = ∠ACB = ∠BAx $ cùng chắn cung $AB$)

$ ⇒ EF//Ax ⇒ EF⊥OA ⇒ MN⊥OA(đpcm)$

3.Gọi $I = HK∩EF$

Từ $(1)$ ở câu 2. $ ⇒ \dfrac{BH}{BK} = \dfrac{BC}{BA} ⇒ ΔBHK ≈ ΔBCA $( chung góc $B$)
$ ⇒ ∠BHK = ∠BCA = ∠AFE ⇔ ∠FHI = ∠HFI (2)$

$ ⇔ 90^{0} - ∠FHI = 90^{0} -∠HFI ⇔ ∠HEI = ∠EHI (3)$

$( 2); (3) ⇒ ΔIEH; IFH$ cân tại $I ⇒ IE = IH = IF$

$ ⇒ I$ là trung điểm $EF (đpcm)$

1,

BE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BEC}=\widehat{BEA}=90°$

CF ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{BFC}=\widehat{AFC}=90°$

EH ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{EHB}=\widehat{EHA}=90°$ Hay $\widehat{EHF}=90°$

EK ⊥ BC (gt) ⇒ $\widehat{EKB}=\widehat{EKC}=90°$

Xét tứ giác BHEK có: $\widehat{EHB}+\widehat{EKB}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác BHEK nội tiếp đường tròn đưuòng kính EB

Xét tứ giác BFEC có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90°$

Tứ giác có hai đỉnh E và F cùng nhìn BC dưới một góc vuông

⇒ Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

2,

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔAEB vuông tại E ($\widehat{BEA}=90°$), EH ⊥ AB (gt) có: BE² = BH.BA

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔBEC vuông tại E ($\widehat{BEC}=90°$), EK ⊥ BC (gt) có: BE² = BK.BC

⇒ BH.BA = BK.BC

Kẻ đường kính AD của (O), gọi giao điểm của AO và FE là G

Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)

⇒ $\widehat{FEB}=\widehat{FCB}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{FB}$)

Hay $\widehat{FEB}=\widehat{NCB}$

Xét (O) có: $\widehat{NMB}=\widehat{NCB}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{NB}$)

⇒ $\widehat{FEB}=\widehat{NMB}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị do BM cắt EF và MN ⇒ EF // MN

Xét (O), đường kính AD có: C ∈ (O) 

⇒ $\widehat{ACD}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét ΔACD vuông tại C ($\widehat{ACD}=90°$) có:

$\widehat{CAD}+\widehat{ADC}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\widehat{EAG}+\widehat{ADC}=90°$

Xét (O) có: $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{AC}$)

Hay $\widehat{FBC}=\widehat{ADC}$

Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)

⇒ $\widehat{FBC}+\widehat{FEC}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{FEA}+\widehat{FEC}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{FBC}=\widehat{FEA}$

Hay $\widehat{FBC}=\widehat{GEA}$

Mà $\widehat{FBC}=\widehat{ADC}$ (cmt)

⇒ $\widehat{GEA}=\widehat{ADC}$

Mà $\widehat{EAG}+\widehat{ADC}=90°$

⇒ $\widehat{EAG}+\widehat{GEA}=90°$

Xét ΔAEG có: $\widehat{EAG}+\widehat{GEA}=90°$ (cmt)

⇒ ΔAEG vuông tại G

⇒ OA ⊥ EF

Mà EF // MN (cmt)

⇒ OA ⊥ MN

3, Goi I là trung điểm của FE

Có BH.BA = BK.BC (cmt) ⇒ $\frac{BH}{BK}=\frac{BC}{BA}$ 

Xét ΔBHK và ΔBCA có: 

$\frac{BH}{BK}=\frac{BC}{BA}$ (cmt)

$\widehat{ABC}$: góc chung

⇒ ΔBHK ~ ΔBCA (c.g.c)

⇒ $\widehat{BHK}=\widehat{BCA}$ (2 góc tương ứng) (1)

Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)

⇒ $\widehat{BCE}+\widehat{BFE}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{BFE}+\widehat{EFA}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{BCE}=\widehat{EFA}$

Hay $\widehat{BCA}=\widehat{IFH}$

Xét ΔEHF vuông tại H ($\widehat{EHF}=90°$) có: 

HI là trung tuyến ứng với cạnh huyền FE ( I là trung điểm của FE)

⇒ IH = IF = $\frac{1}{2}$ EF

Xét ΔIHF có: IH = IF (cmt)

⇒ ΔIHF cân tại I

⇒ $\widehat{IHF}=\widehat{IFH}$

Mà $\widehat{BCA}=\widehat{IFH}$ (cmt)

⇒ $\widehat{BCA}=\widehat{IHF}$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{BHK}=\widehat{IHF}$

⇒ H, I, K thẳng hàng

Mà I là trung điểm của EF (cách vẽ)

⇒ HK đi qua trung điểm I của EF