$\text{- BĐT Côsi( hay còn gọi là:Cauchy;AM - GM)}$
`+)a≥0;b≥0` thì `a+b≥2\sqrt{ab}`
`+)a^2+b^2≥2ab` với `a∈R;b∈R`
( Dấu '=' xảy ra `⇔a=b)`
Tổng quát:
`(a_1+a_2+...+a_n)/(n)≥`$\sqrt[n]{a_1.a_2....a_n}$
`(a_1;a_2;....;a_n≥0)`
(Dấu `'='` xảy ra `<=>a_1=a_2=....=a_n`)
`(1)/(a)+(1)/(b)≥(4)/(a+b)`
`(1)/(a+b)≤(1)/(4).((1)/(a)+(1)/(b))`
`(1)/(a.b)≥(4)/((a+b)^2)`
`(1)/(a)+(1)/(b)+(1)/(c)≥(9)/(a+b+c)`
`a^3+b^3+c^3≥a^2b+b^2c+c^2a`
_______________________________________
$\text{-BĐT Schwartz}$
`Với:∀x,y,a,b∈R`
`|ax+by|≤\sqrt{(a^2+b^2).(x^2+y^2)}`
BĐT xảy ra
`⇔(x)/(a)=(y)/(b)`
Tổng quát:
Với các số `a_1;a_2;...;a_n` và `b_1;b_2;..;b_n` ta có:
`|a_1.b_1+.....+a_n.b_n|≤\sqrt{(a_1^2+...+a_n^2).(b_1^2+...+b_n^2)}`
BĐT xảy ra
`⇔(b_1)/(a_1)=....=(b_n)/(a_n)`
_______________________________________
$\text{-BĐT Bu-nhia-cốp-xki}$
`(a_1.b_1+a_2.b_2)^2≤(a_1^2+a_2^2).(b_1^2+b_2^2)`
`(a_1;a_2;b_1;b_2∈R)`
Dấu '=' xảy ra:
`text(Tồn tại 't':)a_i=t.b_i(text(hoặc )b_i=t.a_i);i=1;2 `
Tổng quát:
`(a_1.b_1+...+a_n.b_n)^2≤(a_1^2+...+a_n^2).(b_1^2+...+b_n^2)`
`(a_1;....;a_n;b_1;...;b_n∈R)`
Dấu '=' xảy ra:
`text(Tồn tại 't':)a_i=t.b_i(text(hoặc )b_i=t.a_i);i=1;2;....;n `
_______________________________________
$\text{- BĐT Bernouilli( Béc-nu-li)}$
Cho `a> -1,n∈N` thì:
`(1+n)^n≥1+n.a`
Dấu '=' xảy ra:
`⇔a=0text( hoặc )n=1`
_______________________________________
$\text{- BĐT các giá trị tuyệt đối}$
`|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|`
`|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|`
`|a+(1)/(a)|≥2(a\ne0;text( dấu'=' xảy ra ) <=>a=±1)`
_______________________________________
$\text{-BĐT tổng hai nghịch đảo}$
`(x)/(y)+(y)/(x)≥2(x;y text( Cùng dấu))`
_______________________________________
$\text{- BĐT và bài toán Max,Min}$
`x≥0;y≥0;x+y=ktext( k: hằng số)`
`⇒x.ytext( max)⇔x=y=(k)/(2)`
`x_1≥0;...;x_n≥0;x_1+...+x_n=ktext( k: hằng số)`
`⇔x_1.x_2.....x_ntext( đạt max)⇔x_1=x_2=....=x_n=(k)/(n)`
`x≥0;y≥0;x.y=ktext( k: hằng số)`
`⇒x+ytext( min)⇔x=y=\sqrt{k}`
`x_1≥0;...;x_n≥0;x_1...x_n=ktext( k: hằng số)`
`⇔x_1+x_2+...+x_ntext( đạt min)⇔x_1=x_2=....=x_n=`$\sqrt[n]{k}$
_______________________________________
$\text{-BĐT trung bình nhân,cộng,toàn phương}$
$\sqrt[n]{a_1.a_2...a_n}≤\dfrac{a_1+a_2+..+a_n}{n}≤\sqrt[n]{\dfrac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}}$
`(a_1;a_2;....;a_n≥0)`
Dấu '=' xảy ra
`⇔a_1=a_2=....=a_n`
______________________________________
( Bạn tham khảo)
(Chỗ này trong sổ tay của mình tổng hợp lại , thiếu sót gì bạn thông cảm )
