Đáp án:
`S_{∆KAB}={a^2 \sqrt{3}}/4` (đvdt)
Giải thích các bước giải:
Xét $∆AKE$ có $AE$//$BF$ (cùng $\perp AB$)
`=>{AK}/{KF}={AE}/{BF}` (hệ quả định lý Talet)
Mà `AE=ME; BF=MF` (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
`=>{AK}/{KF}={ME}/{MF}`
`=>MK`//$EA$ (định lý Talet đảo)
Vì $EA\perp AB$ (do $Ax$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$)
`=>MK`$\perp AB$
$\\$
Gọi $H$ là giao điểm của $MK$ và $AB$
`=>MH`$\perp AB$ tại $H$
$\\$
Vì $ME;AE$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $E$
`=>AE=ME`
Mà $OA=OM=a$ (do $AB=2a)$
`=>OE` là trung trực của $AM$
`=>OE`$\perp AM$
Ta có:
`\qquad \hat{AMB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa $(O))$
`=>BM`$\perp AM$
`=>OE`//$BM$
`=>\hat{AOE}=\hat{HBM}` (hai góc đồng vị)
Mà `\hat{OAE}=\hat{BHM}=90°`
`=>∆OAE∽∆BHM` (g-g)
`=>{OA}/{BH}={EA}/{MH}`
`=>OA.MH=EA.BH` $(1)$
$\\$
Xét $∆ABE$ có $KH$//$EA$ (cùng $\perp AB$)
`=>{KH}/{EA}={BH}/{AB}` (hệ quả định lý Talet)
`=>AB.HK=EA.BH` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>OA.MH=AB.KH`
`=>OA.MH=2OA.KH` (vì $AB=2a=2OA)$
`=>MH=2KH=>KH=1/2 MH` (*)
$\\$
$\quad ∆MAB$ vuông tại $M$
`=> tan\hat{MAB}={MB}/{MA}=\sqrt{3}` (do $MB=\sqrt{3}MA)$
`=>\hat{MAH}=\hat{MAO}=\hat{MAB}=60°` `(3)`
$\\$
Vì `OA=OM=a=>∆OAM` cân tại $O$ $(4)$
Từ `(3);(4)=>∆OAM` đều
`=>MA=OA=a`
$\\$
$\quad ∆MAH$ vuông tại $H$
`=> sin\hat{MAH}=sin60°={MH}/{MA}`
`=>MH=sin60° .MA={a.\sqrt{3}}/2`
(*)`=>KH=1/ 2 MH={a\sqrt{3}}/4`
$\\$
`\qquad S_{∆KAB}=1/ 2 KH.AB`
`=1/ 2 .{a\sqrt{3}}/4 .2a={a^2 \sqrt{3}}/4`
Vậy `S_{∆KAB}={a^2 \sqrt{3}}/4` (đvdt)
