Lời giải:
Ta có:
$MC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$
$MAB$ là cát tuyến
$\Rightarrow MC^2 = MA.MB$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle MOC$ vuông tại $C,$ đường cao $CH$ ta được:
$MC^2 = MH.MO$
Do đó:
$MA.MB = MH.MO$
$\Rightarrow \dfrac{MA}{MO} = \dfrac{MH}{MB}$
Xét $\triangle MAH$ và $\triangle MOB$ có:
$\begin{cases}\widehat{M}:\ \text{góc chung}\\\dfrac{MA}{MO} = \dfrac{MH}{MB}\quad (cmt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle MAH\backsim\triangle MOB\ (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{MHA} = \widehat{MBO}$
$\Rightarrow ABOH$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{BAO} = \widehat{BHO}$
mà $\widehat{BAO} = \widehat{OBA}=\widehat{MBO}\quad (\triangle OAB$ cân tại $O)$
nên $\widehat{BHO} = \widehat{MBO} = \widehat{MHA}$
Gọi $I$ là điểm đối xứng $A$ qua $OM;\ D$ là giao điểm của $CH$ và $(O)$
$\Rightarrow HM$ là trung trực của $AI;\ CD$
$\Rightarrow HM$ là phân giác của $\widehat{AHI}$
$\Rightarrow \widehat{MHA} = \widehat{MHI}$
mà $\widehat{MHA} = \widehat{BHO}\quad (cmt)$
nên $\widehat{MHI} = \widehat{BHO}$
$\Rightarrow B,H,I$ thẳng hàng
$\Rightarrow \widehat{BHD} = \widehat{CHI}$ (đối đỉnh) $(1)$
Mặt khác:
$I$ đối xứng $A$ qua $OM$
$A\in (O)$
$\Rightarrow I\in (O)$
$\Rightarrow AICD$ là tứ giác nội tiếp
Lại có: $AI//CD\quad (\perp OM)$
$\Rightarrow AICD$ là hình thang
Do đó: $AICD$ là hình thang cân
$\Rightarrow CI = AD$
Xét $\triangle CHI$ và $\triangle DHA$ có:
$\begin{cases}CH = DH\quad \text{(OM là trung trực CD)}\\IH = AH\quad \text{(OM là trung trực AI)}\\CI = AD\quad (cmt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle CHI=\triangle DHA\ (c.c.c)$
$\Rightarrow \widehat{CHI} = \widehat{AHD}\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow \widehat{BHD} = \widehat{AHD}$
hay $HD$ là phân giác của $\widehat{AHB}$
