Đáp án+Giải thích các bước giải:
Sử dụng bất đẳng thức `AM-GM` với `a,b,c >0` ta có:
`(18a)/(3a^2 + 2b^2 + c^2) = (18a)/(2(a^2 + b^2)+ a^2 + c^2) le (18a)/(2*2sqrt((ab)^2)+ 2sqrt((ab)^2))= (18a)/(4ab+2ac)`
`(18a)/(3a^2+2b^2+c^2) le (18a)/(4ab+2ac) = (18a)/(2a(2b+c)) = (9)/(2b+c)`
Áp dụng bất đẳng thức `Cauchy Schwarz a^2/x + b^2/y ge (a+b)^2/(x+y)`
Ta có:
`(2+1)^2/(2b+c) le 4/(2b)+1/c= 2/b + 1/c`
`=> (18a)/(3a^2 + 2b^2 + c^2) le (9)/(2b+c) = (2+1)^2/(2b+c) le 2/b+1/c`
Tương tự:
`(18b)/(3b^2 + 2c^2 + a^2)le 9/(2c + a) = (2+1)^2/(2c+a) le 2/c + 1/a`
`(18c)/(3c^2 + 2a^2 + b^2) le 9/(2a + b) = (2+1)^2/(2a+b) le 2/a + 1/b`
Cộng vế với vế của các bđt trên ta có:
`(18a)/(3a^2 +2 b^2 + c^2) + (18b)/(3b^2 + 2c^2 + a^2) + (18c)/(3c^2 + 2a^2 + b^2) le 2/c + 1/a + 2/b + 1/c +2/a + 1/b`
`<= > a/(3a^2 + 2b^2 + c^2) + b/(3b^2+2c^2+a^2) + c/(3c^2 + 2a^2 + b^2) le (3/a+3/b+3/c) : 18 = 1/6(1/a+1/b+1/c)`
