Đáp án + Giải thích các bước giải:
a) Vì AD là phân giác của `\hat{BAC} => \hat{ABD} = \hat{CAD} = 1/2 \hat{BAC}`
mà `\hat{BCI} = 1/2 \hat{BAC} (g t)`
`=> \hat{ABD} = \hat{CAD} = \hat{BCI}`
Xét `ΔCID` và `ΔAIC` có:
`\hat{I}: chung`
`\hat{DCI} = \hat{CAI}(cmt)`
$⇒ ΔCID \backsim ΔAIC (g.g)$
`=> (CI)/(AI) = (DI)/(CI) => CI^2 = DI.AI`
b) Sửa đề: $ΔABD \backsim ΔAIC$
Xét `ΔABD` và `ΔCID` có:
`\hat{ADB} = \hat{CDI}` (đối đỉnh)
`\hat{BAD} = \hat{ICD} (cmt)`
$⇒ ΔABD \backsim ΔCID (g.g)$
mà $ΔCID \backsim ΔAIC (cmt)$
$⇒ ΔABD \backsim ΔAIC$
c) Ta có: $ΔABD \backsim ΔCID (cmt)$
`=> (AD)/(CD) = (BD)/(ID) => (AD)/(BD) = (CD)/(ID)`
Xét `ΔACD` và `ΔBID` có:
`\hat{ADC} = \hat{BDI}` (đối đỉnh)
`(AD)/(BD) = (CD)/(ID) (cmt)`
$⇒ ΔACD \backsim ΔBID (c.g.c)$
`=> \hat{DAC} = \hat{DBI}`
mà `\hat{DAC} = \hat{DCI} (cmt)`
`=> \hat{DBI} = \hat{DCI} => ΔIBC` cân tại I
d) Ta có: $Δ ABD \backsim ΔAIC$ (theo b)
`=> (AB)/(AI) = (AD)/(AC) => AB.AC = AD.AI` (1)
$ΔABD \backsim ΔCID$ (theo b)
`=> (DB)/(DI) = (AD)/(DC) => DB.DC = AD.DI` (2)
Từ (1) và (2)
`=> AB.AC - DB.DC = AD.AI-AD.DI = AD (AI - DI) = AD^2` (đpcm)
