Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $(d_1):y=ax+b$
Vì $(d_1)$ đi qua $A(2;-3)$ nên
$-3=2a+b\Rightarrow b=-3-2a\ (1)$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d_1)$
$\dfrac{1}{3}x^2=ax+b\\ \Leftrightarrow x^2-3ax-3b=0$
Vì $(d_1)$ tiếp xúc $(P)$ nên $∆=0$
$\Leftrightarrow 9a^2+12b=0\\ \Leftrightarrow 3a^2+4b=0\ (2)$
Thế (1) vào (2) ta được
$3a^2-8a-12=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}a=\dfrac{8-4\sqrt{13}}{6}\Rightarrow b=-\dfrac{8-4\sqrt{13}}{3}-3\\a=\dfrac{8+4\sqrt{13}}{6}\Rightarrow b=-\dfrac{8+4\sqrt{13}}{3}-3\end{matrix}\right.$
Vậy có 2 pt dt thoả mãn là
$d_1: y=\dfrac{8-4\sqrt{13}}{6}x-\dfrac{8-4\sqrt{13}}{3}-3$
$d_2: y=\dfrac{8+4\sqrt{13}}{6}x-\dfrac{8+4\sqrt{13}}{3}-3$
