a, 

AD ⊥ BC (gt) ⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90°$ Hay $\widehat{HDB}=\widehat{HDC}=90°$

BE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BEA}=\widehat{BEC}=90°$ Hay $\widehat{HEA}=\widehat{HEC}=90°$

CF ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{BFC}=\widehat{BFA}=90°$ Hay $\widehat{HFA}=\widehat{HFC}=90°$

Xét tứ giác BFEC có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90°$

Tứ giác có hai đỉnh F và E cùng nhìn BC dưới một góc vuông

⇒ Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tâm I của đường tròn là trung điểm của BC

b, Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)

⇒ $\widehat{BFE}+\widehat{BCE}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{BFE}+\widehat{BFM}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{BFM}=\widehat{BCE}$ Hay $\widehat{MFB}=\widehat{MCE}$

Xét ΔMBF và ΔMEC có:

$\widehat{MFB}=\widehat{MCE}$ (cmt)

$\widehat{EMC}$: góc chung

⇒ ΔMBF ~ ΔMEC (g.g)

⇒ $\frac{MB}{ME}=\frac{MF}{MC}$ (các cặp cạnh tương ứng)

⇒ MB.MC = ME.MF

Xét (O) có: B, K, T, C ∈ (O)

⇒ Tứ giác BKTC nội tiếp (O)

⇒ $\widehat{BKT}+\widehat{BCT}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{BKT}+\widehat{BKM}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{BKM}=\widehat{BCT}$ Hay $\widehat{MKB}=\widehat{MCT}$

Xét ΔMBK và ΔMTC có:

$\widehat{MKB}=\widehat{MCT}$ (cmt)

$\widehat{TMC}$: góc chung

⇒ ΔMBK ~ ΔMTC (g.g)

⇒ $\frac{MB}{MT}=\frac{MK}{MC}$ (các cặp cạnh tương ứng)

⇒ MB.MC = MK.MT

Mà MB.MC = ME.MF (cmt)

⇒ ME.MF = MK.MT

Xét ΔBEC vuông tại E ($\widehat{BEC}=90°$) có:

EI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC (I là trung điểm của BC)

⇒ IE = IB = IC = $\frac{1}{2}$ BC

Xét ΔIEC có: IE = IC (cmt) ⇒ ΔIEC cân tại I

⇒ $\widehat{IEC}=\widehat{ICE}$

Xét ΔICE có: $\widehat{EID}=\widehat{IEC}+\widehat{ICE}$ (góc ngoài tại đỉnh I của ΔICE)

(*Nếu bạn chưa biết: Trong tam giác, góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó)

⇒ $\widehat{EID}=\widehat{ICE}+\widehat{ICE}=2\widehat{ICE}=2\widehat{BCE}$

Xét tứ giác FHDB có: $\widehat{HFB}+\widehat{HDB}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác HFBD nội tiếp đường tròn đường kính BH

⇒ $\widehat{HFD}=\widehat{HBD}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{HD}$)

Hay $\widehat{CFD}=\widehat{EBC}$

Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)

⇒ $\widehat{EBC}=\widehat{EFC}$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{CFD}=\widehat{EBC}$ (cmt)

⇒ $\widehat{CFD}=\widehat{EFC}$ ⇒ FC là phân giác $\widehat{EFD}$

⇒ $\widehat{EFD}=2\widehat{HFD}$

Mà $\widehat{HFD}=\widehat{HBD}$ (cmt)

⇒ $\widehat{EFD}=2\widehat{HBD}=2\widehat{EBC}$

Xét ΔEBC vuông tại E ($\widehat{BEC}=90°$) có:

$\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

$\widehat{EID}+\widehat{EFD}=2\widehat{BCE}+2\widehat{EBC}=2.(\widehat{BCE}+\widehat{EBC})=2.90°=180°$

Xét tứ giác FEDI có: $\widehat{EID}+\widehat{EFD}=180°$ (cmt)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác FEDI nội tiếp

⇒ $\widehat{FEI}+\widehat{FDI}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{FDI}+\widehat{FDM}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{FDM}=\widehat{FEI}$ Hay $\widehat{MDF}=\widehat{MEI}$

Xét ΔMDF và ΔMEI có:

$\widehat{MDF}=\widehat{MEI}$ (cmt)

$\widehat{EMI}$: góc chung

⇒ ΔMDF ~ ΔMEI (g.g)

⇒ $\frac{MD}{ME}=\frac{MF}{MI}$ (các cặp cạnh tương ứng)

⇒ ME.MF = MD.MI

Mà ME.MF = MK.MT (cmt)

⇒ MD.MI = MK.MT

c, Kẻ đường kính AQ của (O)

Xét (O), đường kính AQ có:

+ B ∈ (O) ⇒ $\widehat{ABQ}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hay $\widehat{JBQ}=90°$

⇒ QB ⊥ AB

+ C ∈ (O) ⇒ $\widehat{ACQ}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hay $\widehat{PCQ}=90°$

⇒ QC ⊥ AC

QB ⊥ AB (cmt), CF ⊥ AB (gt) ⇒ QB // CF (từ vuông góc đến song song)

QC ⊥ AC (cmt), BE ⊥ AC (gt) ⇒ QC // BE (từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác BHCQ có:

BQ // CH (BQ // CF)

CQ // BH (CQ // BE)

⇒ Tứ giác BHCQ là hình bình hành

Mà I là trung điểm của BC (cmt)

⇒ I là trung điểm của HQ ⇒ H, I, Q thẳng hàng

Tứ giác BHCQ là hình bình hành (cmt)

⇒ $\widehat{HBQ}=\widehat{HCQ}$ (hai góc đối trong hình bình hành)

Kẻ đường thẳng vuông góc QH tại H, đường thẳng đó cắt AB tại J, cắt AC tại P

QH ⊥ JP (cách vẽ) ⇒ $\widehat{QHJ}=\widehat{QHP}=90°$

Xét tứ giác JHQB có: $\widehat{JBQ}+\widehat{QHJ}=90°+90=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác JHQB nội tiếp đường tròn đường kính JQ

⇒ $\widehat{HJQ}=\widehat{HBQ}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{HQ}$)

Xét tứ giác QCPH có: $\widehat{PCQ}+\widehat{QHP}=90°+90=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác QCPH nội tiếp đường tròn đường kính PQ

⇒ $\widehat{HCQ}=\widehat{HPQ}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{HQ}$)

Mà $\widehat{HJQ}=\widehat{HBQ}$ (cmt), $\widehat{HBQ}=\widehat{HCQ}$ (cmt)

⇒ $\widehat{HJQ}=\widehat{HPQ}$ Hay $\widehat{PJQ}=\widehat{JPQ}$

Xét ΔQPJ có: $\widehat{PJQ}=\widehat{JPQ}$ (cmt)

⇒ ΔQPJ cân tại Q

Mà QH ⊥ JP (cmt)

⇒ QH là trung tuyến ⇒ H là trung điểm của JP ⇒ HJ = HP (1)

Có NS ⊥ HI (gt), JP ⊥ HI (cách vẽ) ⇒ JP // NS (từ vuông góc đến song song)

Xét ΔANG có: JH // NG (JP // NS)

⇒ $\frac{JH}{NG}=\frac{AH}{AG}$ (định lý Talet)

Xét ΔASG có: HP // GS (JP // NS)

⇒ $\frac{HP}{GS}=\frac{AH}{AG}$ (định lý Talet)

⇒ $\frac{HP}{GS}=\frac{JH}{NG}$ (2) 

Từ (1) và (2) ⇒ NG = GS ⇒ G là trung điểm của NS