Lời giải:
Từ $A$ kẻ $AH\perp BD$
Ta có:
$\begin{cases}AH\perp BD\\SA\perp BD\end{cases}$
$\Rightarrow BD\perp (SAH)$
$\Rightarrow BD\perp SH$
Khi đó:
$\begin{cases}(SBD)\cap (ABCD) = BD\\SH\perp BD\quad (cmt)\\SH\subset (SBD)\\AH\perp BD\quad \text{(cách dựng)}\\AH\subset (ABCD)\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{((SBD);(ABCD))} =\widehat{SHA} = 60^\circ$
$\Rightarrow SA = AH.\tan60^\circ$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABD$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AD^2}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AD}{\sqrt{AB^2 + AD^2}} = \dfrac{a.a\sqrt3}{\sqrt{a^2 +3a^2}} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \sqrt3 = \dfrac{3a}{2}$
Trong $mp(ABCD)$ kẻ tia $Dx//AC\quad (Dx$ cùng phía $AC$ so với bờ $CD)$
Kẻ $AM\perp Dx $ tại $M$
$\Rightarrow AM\perp AC$
$\Rightarrow AC\perp (SAM)$
Trong $mp(SAM)$ kẻ $AK\perp SM$
$\Rightarrow AC\perp AK\qquad (1)$
Mặt khác:
$\Rightarrow DM\perp (SAM)\quad (DM//AC)$
$\Rightarrow DM\perp AK$
mà $AK\perp SM$ (cách dựng)
nên $AK\perp (SDM)$
$\Rightarrow AK\perp SD\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow AK$ là đoạn vuông góc chung của $AC$ và $SD$
$\Rightarrow AK = d(AC;SD)$
Kẻ $DN\perp AC$
$\Rightarrow AMDN$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow AM = DN$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ACD$ vuông tại $D$ đường cao $DN$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{DN^2} = \dfrac{1}{AD^2} + \dfrac{1}{CD^2} = \dfrac{1}{AD^2} + \dfrac{1}{AB^2}$
$\Rightarrow DN = AH = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow AM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SAM$ vuông tại $A$ đường cao $AK$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{AK^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AM^2}$
$\Rightarrow AK = \dfrac{SA.AM}{\sqrt{SA^2 + AM^2}} = \dfrac{\dfrac{3a}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}}{\sqrt{\dfrac{9a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4}}} = \dfrac{3a}{4}$
Vậy $d(AC;SD) = \dfrac{3a}{4}$
