Đáp án:
Bài 4: b) $a \ne \left\{ {0;1} \right\}$
Bài 5:
a)$\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{6}{{17}};\dfrac{{13}}{{17}}} \right)$
b) $m \in \left( {\dfrac{2}{5}; + \infty } \right)$
Giải thích các bước giải:
Bài 4:
Ta có hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
x + ay = 1\\
- ax + y = a
\end{array} \right.\left( I \right)$
a) +) TH1: Nếu $a=0$ khi đó hệ $(I)$ trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 0
\end{array} \right.$
$\to $ Với $a=1$ hệ $(I)$ có nghiệm duy nhất $(x;y)=(1;0)$
+) TH2: Nếu $a\ne 0$ khi đó hệ $(I)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
ax + {a^2}y = a\\
- ax + y = a
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
ax + {a^2}y + \left( { - ax + y} \right) = 2a\\
x + ay = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{a^2} + 1} \right)y = 2a\\
x = 1 - ay
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}}\\
x = 1 - a.\dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}}\\
x = \dfrac{{ - {a^2} + 1}}{{{a^2} + 1}}
\end{array} \right.
\end{array}$
$\to $ Khi $a\ne 0$ thì nghiệm duy nhất của hệ là: $\left( {\dfrac{{ - {a^2} + 1}}{{{a^2} + 1}};\dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}}} \right)$
Như vậy:
Kết hợp hai trường hợp ta có: Hệ $(I)$ luôn có nghiệm duy nhất với mọi $a$
b) Ta có:
Để $\left\{ \begin{array}{l}
x < 1\\
y < 1
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{ - {a^2} + 1}}{{{a^2} + 1}} < 1\\
\dfrac{{2a}}{{{a^2} + 1}} < 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- {a^2} + 1 < {a^2} + 1\\
2a < {a^2} + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{a^2} > 0\\
{\left( {a - 1} \right)^2} > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
a \ne 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $a \ne \left\{ {0;1} \right\}$ thỏa mãn.
Bài 5:
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = m\\
- 5x + y = - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 3y = m\\
- 15x + 3y = - 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
17x = m + 3\\
- 5x + y = - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{m + 3}}{{17}}\\
y = 5x - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{m + 3}}{{17}}\\
y = \dfrac{{5\left( {m + 3} \right)}}{{17}} - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{m + 3}}{{17}}\\
y = \dfrac{{5m - 2}}{{17}}
\end{array} \right.
\end{array}$
a) Với $m=3$ thì hệ phương trình có nghiệm là: $\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{m + 3}}{{17}} = \dfrac{6}{{17}}\\
y = \dfrac{{5m - 2}}{{17}} = \dfrac{{5.3 - 2}}{{17}} = \dfrac{{13}}{{17}}
\end{array} \right.$
Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{6}{{17}};\dfrac{{13}}{{17}}} \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ khi $m=3$
b) Để $\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
y > 0
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{m + 3}}{{17}} > 0\\
\dfrac{{5m - 2}}{{17}} > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 3 > 0\\
5m - 2 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - 3\\
m > \dfrac{2}{5}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow m > \dfrac{2}{5}
\end{array}$
Vậy $m \in \left( {\dfrac{2}{5}; + \infty } \right)$ thỏa mãn đề
