Đáp án:
`a,`
Xét `ΔDEM` và `ΔDFN` có :
`hat{DEM} = hat{DFN}` (Do `ΔDEF` cân tại `D`)
`DE = DF` (Do `ΔDEF` cân tại `D`)
`EM = FN` (giả thiết)
`-> ΔDEM = ΔDFN` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{DME} = hat{DNF}` (2 góc tương ứng)
$\\$
Có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{DME}+\widehat{DMN}=180^o\\ \widehat{DNF}+\widehat{DNM}=180^o\end{array} \right.\) (2 góc kề bù)
mà `hat{DME} = hat{DNF}`
`-> hat{DMN} = hat{DNM}`
`-> ΔDMN` cân tại `D`
$\\$
$\\$
$b,$
Có : `hat{DMN} = hat{EMH}` (2 góc đối đỉnh)
Có : `hat{DNM} = hat{FNK}` (2 góc đối đỉnh)
mà `hat{DMN} = hat{DNM}`
`-> hat{EMH} = hat{FNK}`
Xét `ΔMEH` và `ΔNFK` có :
`hat{EHM} = hat{FKN} = 90^o`
`EM = FN` (giả thiết)
`hat{EMH} = hat{FNK}` (chứng minh trên)
`-> ΔMEH = ΔNFK` (cạnh huyền - góc nhọn)
$\\$
Vì `ΔMEH = ΔNFK` (chứng minh trên)
`-> hat{IEF} = hat{IFE}` (2 góc tương ứng)
`-> ΔIFE` cân tại `I`
$\\$
$\\$
$c,$
Xét `ΔDIE` và `ΔDIF` có :
`DI` chung
`DE = DF` (Do `ΔDEF` cân tại `D`)
`EI = FI` (Do `ΔIFE` cân tại `I`)
`-> ΔDIE = ΔDIF` (cạnh - cạnh - cạnh)
`-> hat{EDI} = hat{FDI}` (2 góc tương ứng)
hay `DI` là tia phân giác của `hat{EDF}`
$\\$
$\\$
$d,$
Có : `DE = DP` (giả thiết)
mà `DE = DF` (Do `ΔDEF` cân tại `D`)
`-> DP = DE (= DE)`
`-> ΔDPE` cân tại `D`
`-> hat{DPE} = hat{DEP}`
Có : `hat{EDF} = hat{DPE} + hat{DEP}`
mà `hat{DPE} = hat{DEP}`
`-> hat{EDF} = 2 hat{DFP}`
mà `DI` là tia phân giác của `hat{EDF}`
`-> 2 hat{IDF} = 2 hat{DFP}`
`-> hat{IDF} = hat{DFP}`
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ DI//PE$
$\\$
Vì `ΔDEF` cân tại `D`
`DI` là đường phân giác
`-> DI` là đường cao
`-> DI⊥EF`
mà $DI//PE$
`-> PE⊥EF`
