Đáp án:
Bài 1: $S = \left\{ {\left( {2;1} \right);\left( {5 + 2\sqrt 3 ;4 + 2\sqrt 3 } \right)} \right\}$
Bài 2: $S = \left\{ {\left( {3;1} \right)} \right\}$
Giải thích các bước giải:
Bài 1:
ĐKXĐ: $x\ge 1$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
y\sqrt {x - 1} + 5 = 3x\left( 2 \right)\\
{x^3} + \left( {x + 1} \right){y^2} + 2y = {y^3} + \left( {y + 1} \right){x^2} + 2xy\left( 3 \right)
\end{array} \right.$
Ta có:
Phương trình $(3):$ ${x^3} + \left( {x + 1} \right){y^2} + 2y = {y^3} + \left( {y + 1} \right){x^2} + 2xy$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^3} - {x^2}\left( {y + 1} \right) + x\left( {{y^2} - 2y} \right) + {y^2} + 2y - {y^3} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2}\left( {y + 1} \right)} \right) + \left( {x\left( {{y^2} - 2y} \right) - \left( {{y^2} - 2y} \right)\left( {y + 1} \right)} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left( {x - y - 1} \right) + \left( {{y^2} - 2y} \right)\left( {x - y - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - y - 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - 2y} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - y - 1 = 0\\
{x^2} + {y^2} - 2y = 0
\end{array} \right.
\end{array}$
+) TH1: $x-y-1=0\to y=x-1$
Thay vao phương trình $(2)$ ta có:
$\begin{array}{l}
\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} + 5 = 3x\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} = 3x - 5\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x - 5 \ge 0\\
{\left( {x - 1} \right)^3} = {\left( {3x - 5} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \dfrac{5}{3}\\
{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = 9{x^2} - 30x + 25
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \dfrac{5}{3}\\
{x^3} - 12{x^2} + 33x - 26 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \dfrac{5}{3}\\
\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 10x + 13} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \dfrac{5}{3}\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\left( c \right)\\
x = 5 + 2\sqrt 3 \left( c \right)\\
x = 5 - 2\sqrt 3 \left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 5 + 2\sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2;y = 1\\
x = 5 + 2\sqrt 3 ;y = 4 + 2\sqrt 3
\end{array} \right.
\end{array}$
+) TH2: ${x^2} + {y^2} - 2y = 0$
Ta có:
Do $x\ge 1$ nên ta có:
${x^2} + {y^2} - 2y \ge 1 + {y^2} - 2y = {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$
$\to $ Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow y = 1;x = 1$
Mà thay $x=1;y=1$ vào phương trình $(2)$ ta có: $1.0+5=3.1(mt)$
$\to x=1;y=1$ không là nghiệm của hệ
Vậy Tập nghiệm của hệ là: $S = \left\{ {\left( {2;1} \right);\left( {5 + 2\sqrt 3 ;4 + 2\sqrt 3 } \right)} \right\}$
Bài 2:
ĐKXĐ: $x \ge y;x \ge - y;x \ge 2$
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} - {y^2}} - 6 = 2\sqrt {x - y} - 3\sqrt {x + y} \left( 1 \right)\\
3\sqrt {x - 2} - 2\sqrt[3]{y} + {x^2} + 5y - 15 = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Giải $(1)$ ta có:
$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - y} .\sqrt {x + y} - 2\sqrt {x - y} + 3\sqrt {x - y} - 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - y} + 3} \right)\left( {\sqrt {x + y} - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt {x + y} - 2 = 0\left( {do:\sqrt {x - y} + 3 \ge 3 > 0} \right)\\
\Leftrightarrow x + y = 4\\
\Leftrightarrow y = 4 - x
\end{array}$
Thay $y=4-x$ vào $(2)$ ta có:
$\begin{array}{l}
3\sqrt {x - 2} - 2\sqrt[3]{{4 - x}} + {x^2} + 5\left( {4 - x} \right) - 15 = 0\\
\Leftrightarrow 3\sqrt {x - 2} - 2\sqrt[3]{{4 - x}} + {x^2} - 5x + 5 = 0\\
\Leftrightarrow 3\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right) + 2\left( {1 - \sqrt[3]{{4 - x}}} \right) + {x^2} - 5x + 6 = 0\\
\Leftrightarrow 3.\dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 2} + 1}} + 2.\dfrac{{1 - \left( {4 - x} \right)}}{{1 + \sqrt[3]{{4 - x}} + {{\left( {\sqrt[3]{{4 - x}}} \right)}^2}}} + \left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 3.\dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 2} + 1}} + 2.\dfrac{{x - 3}}{{1 + \sqrt[3]{{4 - x}} + {{\left( {\sqrt[3]{{4 - x}}} \right)}^2}}} + \left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt {x - 2} + 1}} + \dfrac{2}{{1 + \sqrt[3]{{4 - x}} + {{\left( {\sqrt[3]{{4 - x}}} \right)}^2}}} + x - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x - 3 = 0\\
\left( {do:\dfrac{3}{{\sqrt {x - 2} + 1}} + \dfrac{2}{{1 + \sqrt[3]{{4 - x}} + {{\left( {\sqrt[3]{{4 - x}}} \right)}^2}}} + x - 2 > 0,\forall x \ge 2} \right)\\
\Leftrightarrow x = 3\\
\Rightarrow y = 4 - x = 1
\end{array}$
Vậy hệ có tập nghiệm là: $S = \left\{ {\left( {3;1} \right)} \right\}$
