CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!!!!!
Đáp án:
`m in {- 15/8 ; 5}`
Giải thích các bước giải:
Phương trình $(1)$:
$x^4 - 2mx^2 + 2m + 6 = 0$
Đặt $t = x^2 \ge 0$:
$(1)$ `<=> t^2 - 2mt + 2m + 6 = 0` $(2)$
Để phương trình $(1)$ có $4$ nghiệm phân biệt thì phương trình $(2)$ phải có $2$ nghiệm dương phân biệt.
$\begin{cases}\Delta' = (- m)^2 - 1.(2m + 6) \ge 0\\t_1 + t_2 = 2m \ge 0\\t_1t_2 = 2m + 6 \ge 0\\\end{cases}$
`<=>` $\begin{cases}m^2 - 2m - 6 \ge 0\\m \ge 0\\m \ge - 3\\\end{cases}$
`=> m \ge 1 + \sqrt{7}`
Giả sử $t_1 > t_2 \to \begin{cases}x_1 = - \sqrt{t_1}\\x_2 = - \sqrt{t_2}\\x_3 = \sqrt{t_2}\\x_4 = \sqrt{t_1}\\\end{cases}$
Theo bài ra, ta có:
$x_4 - 2x_3 + 2x_2 - x_1 = 0$
`<=> x_4 - x_1 = 2(x_3 - x_2)`
`<=> 2\sqrt{t_1} = 2.2\sqrt{t_2}`
`<=> t_1 = 4t_2`
`<=> t_1/4 = t_2 = {t_1 + t_2}/{4 + 1} = {2m}/5`
`=> t_1 = {8m}/5`
Thay vào $t_1t_2 = 2m + 6$
`<=> {2m}/5 . {8m}/5 = 2m + 6`
`<=> 16m^2 = 25(2m + 6)`
`<=> 16m^2 - 50m - 150 = 0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m = 5\\m = - \dfrac{15}{8}\end{array} \right.\)
Vậy `m in {- 15/8 ; 5}` thì phương trình có $4$ nghiệm phân biệt thỏa mãn các điều kiện trên.
