Đáp án:
`a,`
Có : `hat{HAB} + hat{HAC} = 90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)
Có : `hat{BCA} + hat{HAC} = 90^o` (Do `ΔAHC` vuông tại `H`)
`-> hat{HAB} = hat{BCA}`
$\\$
$\\$
$b,$
Có : `hat{BAD} + hat{DAC} = 90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)
mà `hat{DAC} = hat{HAD}` (Do `AD` là tia phân giác của `hat{HAC}`)
`-> hat{BAD} + hat{HAD} =90^o`
Có : `hat{BDA} + hat{HAD} = 90^o` (Do `ΔAHD` vuông tại `H`)
`-> hat{BAD} = hat{BDA}`
`-> ΔABD` cân tại `B`
$\\$
Vì `H` nằm giữa `B` và `D`
`-> BH + HD = BD`
`-> BD = 9 + 6 = 15cm`
mà `BD = AB` (Do `ΔABD` cân tại `B`)
`-> AB = 15cm`
Xét `ΔABH` vuông tại `H` có :
`AH^2 + BH^2 = AB^2` (Pitago)
`-> AH^2 = AB^2 - BH^2`
`-> AH^2 = 15^2 - 9^2`
`-> AH^2 = 12^2`
`-> AH = 12cm`
$\\$
$\\$
$c,$
Xét `ΔAHE` có :
`AD` là đường cao
`AD` là đường phân giác
`-> ΔAHE` cân tại `A`
Xét `ΔAHD` và `ΔAED` có :
`hat{HAD} = hat{DAE}` (giả thiết)
`AH = AE` (Do `ΔAHE` cân tại `A`)
`AD` chung
`-> ΔAHD = ΔAED` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{AHD} = hat{AED}` (2 góc tương ứng)
mà `hat{AHD}=90^o`
`-> hat{AED}=90^o`
hay $DE⊥AC$
$\\$
$\\$
$d,$
Vì `ΔAHD = ΔAED` (chứng minh trên)
`-> HD = DE` (2 cạnh tương ứng)
Xét `ΔDEC` vuông tại `E` có :
`DC` là cạnh lớn nhất
`-> DC > DE`
mà `HD = DE`
`-> HD < DC`
