1, Xét (O) có:
+ EA là tiếp tuyến, A là tiếp điểm ⇒ EA ⊥ AO ⇒ $\widehat{EAO}=90°$
+ EC là tiếp tuyến, C là tiếp điểm ⇒ EC ⊥ CO ⇒ $\widehat{ECO}=90°$
Xét tứ giác EACO có: $\widehat{EAO}+\widehat{ECO}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác EACO nội tiếp đường tròn đường kính EO
⇒ Bốn điểm E, A, C, O cùng thuộc đường tròn đường kính OE
2, Xét (O) có:
EA, EC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E
A, C là hai tiếp điểm
⇒ EA = EC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒ E thuộc trung trực của AC
Xét (O) có: OA = OC = R
⇒ O thuộc trung trực của AC
⇒ EO là trung trực của AC
⇒ EO ⊥ AC
Xét (O), đường kính AB có: C ∈ (O)
⇒ $\widehat{ACB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AC ⊥ BC
Mà EO ⊥ AC (cmt)
⇒ EO // BC (từ vuông góc đến song song)
3, Xét (O) có:
+ $\widehat{AJD}=\widehat{ACD}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{AD}$)
Hay $\widehat{HJD}=\widehat{ACO}$
+ $\widehat{CAB}=\widehat{FCB}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn $\overparen{BC}$))
Hay $\widehat{CAO}=\widehat{FCH}$
Xét ΔOAC có: OA = OC = R
⇒ ΔOAC cân tại O
⇒ $\widehat{OAC}=\widehat{ACO}$
⇒ $\widehat{HJD}=\widehat{FCH}$
Mà $\widehat{HJD}+\widehat{HJF}=180°$ (hai góc kề bù)
⇒ $\widehat{FCH}+\widehat{HJF}=180°$
Xét tứ giác CHJF có: $\widehat{FCH}+\widehat{HJF}=180°$ (cmt)
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác CHJF nội tiếp
⇒ $\widehat{CHF}=\widehat{CJF}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{FC}$)
Xét (O), đường kính CD có: J ∈ (O)
⇒ $\widehat{CJD}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ CJ ⊥ DF ⇒ $\widehat{CJF}=90°$
⇒ $\widehat{CHF}=\widehat{CJF}=90°$
⇒ FH ⊥ CB
Xét (O), có:
FB, FC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại F
B, C là hai tiếp điểm
⇒ FB = FC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét ΔFBC có: FB = FC (cmt)
⇒ ΔFBC cân tại F
Mà FH ⊥ CB (cmt)
⇒ H là trung điểm của BC
Xét ΔABC có:
CO là trung tuyến (AB là đường kính (O))
AH là trung tuyến (H là trung điểm của CB)
CO cắt AH tại G
⇒ G là trọng tâm của ΔABC
