a/ Ta có: \(a=1,b=-2(m-1),c=-m-3\)
\(Δ=b^2-4ac=[-2(m-1)]^2-4.1.(-m-3)\\=4(m^2-2m+1)+4m+12\\=4m^2-8m+4+4m+12\\=4m^2-4m+1+15\\=(2m-1)^2+15\)
Vì \( (2m-1)^2\ge 0→Δ=(2m-1)^2+15>0\)
\(→\) Pt có 2 nghiệm phân biệt \(∀m\)
Theo hệ thức Vi-ét:
\(\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2(m-1)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m-3\end{cases}\)
\(x_1^2+x_2^2=10\\↔(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=10\\↔(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10\\↔[2(m-1)]^2-2(-m-3)=10\\↔4(m^2-2m+1)+2m+6=10\\↔4m^2-8m+4+2m+6=10\\↔4m^2-6m+10=10\\↔4m^2-6m=0\\↔2m(2m-3)=0\\↔\left[\begin{array}{1}m=0\\2m-3=0\end{array}\right.↔\left[\begin{array}{1}m=0\\m=\dfrac{3}{2}\end{array}\right.\)
Vậy \(m=0\) hoặc \(m=\dfrac{3}{2}\) thì pt có 2 nghiệm thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=10\)
b/ \(\begin{cases}x_1+x_2=2(m-1)\\x_1x_2=-m-3\end{cases}↔\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\2x_1x_2=-2m-6\end{cases}\\→x_1+x_2+2x_1x_2=2m-2-2m-6=-8\)
Vậy hệ thức liên hệ giũa các nghiệm của pt không phụ thuộc vào \(m\) là \(x_1+x_2+2x_1x_2=-8\)
