Xét TH1: Nếu $x$=0; $y$=0
⇒$\sqrt{1-0.0}$ =1 là 1 số hữu tỉ
Xét TH2: Nếu $x$$\neq$ 0; $y$$\neq$ 0
Ta có:
$(x+y)^{3}$ =$xy$(3$x$+3$y$+2)
⇔$x^{3}$ +3$x^{2}$$y$ +3$x$$y^{2}$ +$y^{3}$ =3$x^{2}$$y$ +3$x$$y^{2}$ +2$xy$
⇔$x^{3}$ +$y^{3}$ =2$xy$
⇒$\frac{x^{3}}{xy}$ +$\frac{y^{3}}{xy}$ =$\frac{2xy}{xy}$
⇔$\frac{x^{2}}{y}$ +$\frac{y^{2}}{x}$ =2
⇒$(\frac{x^{2}}{y} +\frac{y^{2}}{x})^2$ =$2^{2}$
⇔$\frac{x^{4}}{y^{2}}$ +2$xy$ +$\frac{y^{4}}{x^{2}}$ =4
⇔$\frac{x^{4}}{y^{2}}$ -2$xy$ +$\frac{y^4}{x^{2}}$ =4-4$xy$
⇔$(\frac{x^{2}}{y} -\frac{y^{2}}{x})^{2}$ =4 (1-$xy$)
⇔1-$xy$ =$\frac{1}{4}$ $(\frac{x^{2}}{y} -\frac{y^{2}}{x})^{2}$
⇔$\sqrt{1-xy}$ =|$\frac{1}{2}$ ($\frac{x^{2}}{y}$ -$\frac{y^{2}}{x}$)| là số hữu tỉ
Vậy $\sqrt{1-xy}$ là số hữu tỉ
