Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a/ Ta có: $\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAF}=90^0$
$⇒ AFHE$ là hình chữ nhật
$⇒ \widehat{AEF}=\widehat{HAC}$
Mà $\widehat{HAC}=\widehat{CDF}$ (cùng phụ $\widehat{HAD}$)
nên $\widehat{AEF}=\widehat{CDF}$
$⇒ CDFE$ là tứ giác nội tiếp
b/ Ta có: $\widehat{AFN}=\widehat{DFE}$ (đối đỉnh)
$\widehat{DFE}=\widehat{ACM}$ (tứ giác $CDFE$ nội tiếp)
$⇒ \widehat{AFN}=\widehat{ACM}$
Mà $\widehat{AND}=\widehat{ACM}$ (tứ giác $CDNA$ nội tiếp)
nên $\widehat{AFN}=\widehat{AND}$
Xét $ΔAFN$ và $ΔAND$
Có: $\widehat{FAN}$ chung
$\widehat{AFN}=\widehat{AND}$ (cmt)
`⇒ ΔAFN ~ ΔAND`
$⇒ \dfrac{AN}{AD}=\dfrac{AF}{AN}$
$⇒ AN^2=AF.AD$
Ta có: $AH^2=AF.AD$ ($ΔAHD$ vuông tại $H$ có $HF$ là đường cao)
$⇒ AN=AH$
$⇒ ΔANH$ cân tại $A$
c/ Gọi $L$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ΔBSM$
Ta có: $H, I$ lần lượt là trung điểm của $AB, BK$
$⇒ HI$ là đường trung bình $ΔABK$
$⇒ HI // AK$
$⇒ \widehat{HIC}=\widehat{ICK}$
Mà $\widehat{HBS}=\widehat{ICK}$ (do tứ giác $ACSB$ nội tiếp)
nên $\widehat{HIC}=\widehat{HBS}$
$⇒ BHSI$ là tứ giác nội tiếp
$⇒ \widehat{AHS}=\widehat{BIS}$ $(1)$
Mặt khác: $\widehat{HIB}=\widehat{AKB}=90^0$ (đồng vị)
$⇒ \widehat{AHM}=\widehat{HIB}=90^0$ $(2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra: $\widehat{SHM}=\widehat{HIS}$
Mà $\widehat{HBS}=\widehat{HIS}$ (tứ giác $BHSI$ nội tiếp)
và $\widehat{HBS}=\widehat{SAM}$ (cùng chắn cung $AS$)
nên $\widehat{SHM}=\widehat{SAM}$
$⇒ AHSM$ là tứ giác nội tiếp
$⇒ \widehat{HMS}=\widehat{HAS}$ (cùng chắn cung $HS$)
Mà $\widehat{SBM}=\widehat{HAS}$
nên $\widehat{HMS}=\widehat{SBM}$
Ta có: $\widehat{SBM}+\widehat{SML}=90^0$ (tổng số đo cung 2 góc trên chắn)
$⇒ \widehat{HMS}+\widehat{SML}=90^0$
$⇒ \widehat{HML}=90^0$
$⇒ CM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $ΔBMS$ (đpcm)
