Đáp án:
a/ $AC=16$ $cm$
$AH=\dfrac{48}{5}$ $cm$
c/ $DI=1$ $cm$
$S_{ABC}=96$ $cm^2$
Giải thích các bước giải:
a/ Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABC$ vuông tại $A$:
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$ $(cm)$
Áp dụng hệ thức vào $ΔABC$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao:
$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{12^2}+\dfrac{1}{16^2}$
$⇒ AH=\dfrac{48}{5}$ $(cm)$
b/ Áp dụng hệ thức vào $ΔAHB$ vuông tại $H$ có HE là đường cao:
$AE.AB=AH^2$ $(1)$
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔAHC$ vuông tại H:
$AH^2=AC^2-HC^2$ $(2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra: $AE.AB=AC^2-HC^2$ (đpcm)
c/ Từ $D$ kẻ $DF ⊥ AB$ $(F ∈AB)$
Có: $BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{12^2}{20}=\dfrac{36}{5}$ $(cm)$
$EH=\dfrac{AH.BH}{AB}=\dfrac{144}{25}$ $(cm)$
Mặt khác: $AD$ là đường phân giác của $ΔABC$
$⇒ \dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{BD+CD}{AB+AC}=\dfrac{20}{12+16}=\dfrac{5}{48}$
$⇒ BD=\dfrac{5}{48}.12=\dfrac{5}{4}$ $(cm)$
Ta có: $EH // FD$ (do cùng vuông góc $AB$)
$⇒ \dfrac{EH}{FD}=\dfrac{BH}{BD}$
$⇒ FD=\dfrac{EH.BD}{BH}=\dfrac{\dfrac{144}{25}.\dfrac{5}{4}}{\dfrac{36}{5}}=1$ $(cm)$
Tứ giác $AFDI$ có $\widehat{FAI}=\widehat{AFD}=\widehat{AID}=90^0$
$⇒ AFDI$ là hình chữ nhật
Có $AD$ là tia phân giác $\widehat{FAI}$
$⇒ AFDI$ là hình vuông
$⇒ DI=FD=1$ $(cm)$
Có: $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{48}{5}.20=96$ $(cm^2)$
