Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\widehat {ADH} + \widehat {AEH} = {90^0}$

$\to$ Tứ giác $ADHE$ nội tiếp.

Lại có:

$\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}$

$\to$ Tứ giác $BCDE$ nội tiếp.

b) Ta có:

Tứ giác $BCDE$ nội tiếp

$\to\widehat {AED} = \widehat {ACB}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AED} = \widehat {ACB}\\
\widehat Achung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AED \sim \Delta ACB\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\\
 \Rightarrow AE.AB = AC.AD
\end{array}$

Lại có:

$\widehat {NAB} = \widehat {NCB}$ (góc nội tiếp chắn cung $NB$)

Mà $\widehat {EAH} = \widehat {EDH}$ (tứ giác $ADHE$ nội tiếp)

Và $\widehat {EDH} = \widehat {ECB}$ (tứ giác $BCDE$ nội tiếp)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {EAH} = \widehat {ECB}\\
 \Rightarrow \widehat {EAH} = \widehat {NCB}\\
 \Rightarrow \widehat {NAB} = \widehat {EAH}\left( { = \widehat {NCB}} \right)
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {NAE} = \widehat {HAE}\\
AEchung\\
\widehat {NEA} = \widehat {HEA} = {90^0}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta NAE = \Delta HAE\left( {g.c.g} \right)\\
 \Rightarrow NE = HE
\end{array}$

$\to E$ là trung điểm của $NH$ 

Tương tự ta cũng có: $D$ là trung điểm của $HM$

Như vậy: $E,D$ lần lượt là trung điểm của $HN,HM$

$\to DE $ là đường trung bình của tam giác $HMN$

$\to DE//MN$

c) Gọi $AQ$ là một đường kính của đường tròn $(O)$ 

Ta có:

$\begin{array}{l}
\widehat {AED} = \widehat {ACB} = \widehat {AQB}\\
 \Rightarrow \widehat {AEI} = \widehat {AQB}
\end{array}$

$\to$ Tứ giác $BEIQ$ nội tiếp

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {EBQ} + \widehat {EIQ} = {180^0}\\
 \Rightarrow \widehat {EIQ} = {90^0}
\end{array}$

$\to DE\bot OA=I$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\Delta ADK;\widehat {ADK} = {90^0};DI \bot AK = I\\
 \Rightarrow \frac{1}{{D{I^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{D{K^2}}}
\end{array}$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {FEB} = \widehat {FCD}\\
\widehat Fchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta FEB \sim \Delta FCD\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \frac{{FE}}{{FC}} = \frac{{FB}}{{FD}}\\
 \Rightarrow FE.FD = FB.FC\\
 \Rightarrow FE.FD = \left( {FP - BP} \right)\left( {FP + CP} \right)\\
 \Rightarrow FE.FD = F{P^2} - B{P^2}\\
 \Rightarrow FE.FD = F{P^2} - D{P^2}\left( {Do:DP = BP\left( {\text{P là trung điểm của cạnh huyền của tam giác DBC}} \right)} \right)
\end{array}$