$-3\le x\le5$
$M=x^2-3x+7=x^2-2.x.\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}+\dfrac{19}{4}=(x-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{19}{4}$
Vì $(x-\dfrac{3}{2})^2\ge0\ \forall x\in R$ nên
$M\ge\dfrac{19}{4}$
Suy ra giá trị nguyên nhỏ nhất của $M=\dfrac{20}{4}=5$ khi $(x-\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{1}{4}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\\x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=2\\x=1\end{matrix}\right.\ (t/m)$
Vậy với $x=1$ hoặc $x=2$ thì $M$ đạt giá trị nguyên nhỏ nhất bằng $5$
$x^2-2(m^2+1)+m=0$
Để phương trình có 2 nghiệm thì
$∆'>0$
$\Leftrightarrow (m^2+1)^2-m>0\\\Leftrightarrow m^4+2m^2+1-m>0\\\Leftrightarrow m^4+m^2+(m-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0$ (luôn đúng)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$
