Đáp án:
a) $ x = 16; x = 81$
b) $(x; y) = (2; \dfrac{1}{2})$
Giải thích các bước giải: Tham khảo
a)ĐKXĐ $: 0 ≤ x ≤ 97$.
Đặt $ t = \sqrt[4]{x(97 - x)} ≥ 0 ⇒ t² = \sqrt{x(97 - x)}$
$ PT ⇔ \sqrt{x} + \sqrt{97 - x}+ 2\sqrt[4]{x(97 - x)} = 25$
$ ⇔ \sqrt{x} + \sqrt{97 - x} = 25 - 2t (t ≤ \dfrac{25}{2})$
$ ⇔ x + (97 - x) + 2\sqrt{x(97 - x)} = 625 - 100t + 4t²$
$ ⇔ 97 + 2t² = 625 - 100t + 4t²$
$ ⇔ t² - 50t + 264 = 0 ⇒ t = 6 $ ( loại $t = 44 > \dfrac{25}{2})$
$ ⇔ \sqrt[4]{x(97 - x)} = 6 ⇔ x(97 - x) = 1296$
$ ⇔ x² - 97x + 1296 = 0 ⇒ x = 16; x = 81 (TM)$
b) ĐKXĐ:
$ x²y - \dfrac{x²}{4} = x²(y - \dfrac{1}{4}) ≥ 0 ⇔ y ≥ \dfrac{1}{4} > 0$
$ ⇒ \sqrt{y²x - y²} = \sqrt{y²(x - 1)} = y\sqrt{x - 1} $
$ xy² - y² = y²(x - 1) ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 $
$ ⇒ \sqrt{x²y - \dfrac{x²}{4}} = \sqrt{x²(y - \dfrac{1}{4})} = \dfrac{x}{2}\sqrt{4y - 1}$
$ PT ⇔ 4xy - x\sqrt{4y - 1} - 4y\sqrt{x - 1} =0$
$ ⇔ 2x\sqrt{4y - 1} + 8y\sqrt{x - 1} = 8xy (1)$
Áp dụng BĐT Cô si:
$ 2\sqrt{4y - 1} ≤ (4y - 1) + 1 = 4y ⇒ 2x\sqrt{4y - 1} ≤ 4xy$
$ 2\sqrt{x - 1} ≤ (x - 1) + 1 = x ⇒ 8y\sqrt{4y - 1} ≤ 4xy$
$ ⇒ 2x\sqrt{4y - 1} + 8y\sqrt{x - 1} ≤ 8xy (2)$
Từ $(1); (2) ⇒ 4y - 1 = 1 ⇒ y = \dfrac{1}{2}; x - 1 = 1 ⇒ x = 2$
