Đáp án:
$\alpha=30^\circ$
Giải thích các bước giải:
Xét $\triangle SAB$ đều cạnh $AB= a$
Gọi $H$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow \begin{cases}SH\perp AB\\SH=\dfrac{a\sqrt3}{2}\end{cases}$
Ta có:
$\quad \begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\quad (gt)\\(SAB)\cap (ABCD)= AB\\SH\perp AB\\SH\subset (SAB)\end{cases}$
$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$
Trong $mp(SHD)$ kẻ $NK\perp HD$
$\Rightarrow NK//SH$
$\Rightarrow NK\perp (ABCD)$
$\Rightarrow MK$ là hình chiếu của $MN$ lên $(ABCD)$
$\Rightarrow \widehat{(MN;(ABCD))}=\widehat{NMK}=\alpha$
Ta lại có:
$+)\quad \begin{cases}SN = ND =\dfrac12SD\\NK//SH\end{cases}$
$\quad \Rightarrow \begin{cases}NK =\dfrac12SH =\dfrac{a\sqrt3}{4}\\KH = KD =\dfrac12HD\end{cases}$
$+)\quad \begin{cases}KH = KD =\dfrac12HD\\BM = MC =\dfrac12BC\end{cases}$
$\quad \Rightarrow \begin{cases}MK//BH//CD\\MK =\dfrac{BH+CD}{2}=\dfrac{\dfrac a2 + a}{2}=\dfrac{3a}{4}\end{cases}$
Khi đó:
$\quad \tan\widehat{NMK}=\dfrac{NK}{MK}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{4}}{\dfrac{3a}{4}}=\dfrac{\sqrt3}{3}$
$\Rightarrow\widehat{NMK}=30^\circ$
Vậy $\alpha=30^\circ$
