Giải thích các bước giải:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
$P(n)=\sqrt{m\sqrt{(m+1)\sqrt{....\sqrt{n}}}}<\sqrt{m(m+2)}(*)$ với mọi $n>m, m, n\in Z, m\ge 2$
Với $n=m+1$
$\to P(m+1)=\sqrt{m\sqrt{m+1}}<\sqrt{m(m+2)}$ đúng
$\to$Giả sử $n=k$ đúng
$\to P(k)= \sqrt{m\sqrt{(m+1)\sqrt{....\sqrt{k}}}}<\sqrt{m(m+2)}$
Ta chứng minh $n=k+1$ đúng
$\to P(k+1)= \sqrt{m\sqrt{(m+1)\sqrt{....\sqrt{k\sqrt{k+1}}}}}$
$\to P(k+1)= \sqrt{m\cdot \sqrt{(m+1)\sqrt{....\sqrt{k\sqrt{k+1}}}}}$
Do $P(k)$ đúng
$\to \sqrt{(m+1)\sqrt{....\sqrt{k\sqrt{k+1}}}}< \sqrt{(m+1)(m+2)}$
$\to P(k+1)<\sqrt{m \sqrt{(m+1)(m+2)}}<\sqrt{m\sqrt{(m+2)(m+2)}}=\sqrt{m(m+2)}$
$\to P(k+1)$ đúng
$\to \sqrt{m\sqrt{(m+1)\sqrt{....\sqrt{n}}}}<\sqrt{m(m+2)}(*)$ với mọi $n>m, m, n\in Z, m\ge 2$ đúng
Áp dụng $m=2, n=2018$
$\to \sqrt{m\sqrt{(m+1)\sqrt{....\sqrt{n}}}}<\sqrt{2(2+2)}=2\sqrt2<3$
$\to đpcm$
