Bài 3:

a, 

* Vẽ $(P)$:

$x=0\to y=0$

$x=\pm 1\to y=1$

$x=\pm 2\to y=4$

* Chứng minh điểm cố định là $C(2;4)$

$y=kx-2k+4$

$\to kx-2k+4-y=0$

$\to (x-2)k+4-y=0$

$\to x-2=4-y=0$

$\to x=2; y=4$

Vậy với mọi $k$, $(d)$ luôn đi qua $C(2;4)$

b,

$BC=\sqrt{(2+4)^2+(4-4)^2}=6$

Có $BH\bot d$

$\to BH\bot HC$

$\to S_{HBC}=\dfrac{1}{2}BH.HC$

Ta có: $\sqrt{BH.HC}\le \dfrac{BH+HC}{2}$

$\to BH.HC\le \dfrac{(BH+HC)^2}{4}$

$\to \dfrac{1}{2}BH.HC\le \dfrac{(BH+HC)^2}{8}$

$\to \dfrac{1}{2}BH.HC\le  \dfrac{BH^2+HC^2+2BH.HC}{8}$

$\to \dfrac{1}{2}BH.HC\le \dfrac{BC^2}{8}+\dfrac{BH.HC}{4}$

$\to \dfrac{1}{4}BH.HC\le \dfrac{6^2}{8}$

$\to \dfrac{1}{2}BH.HC\le \dfrac{6^2}{4}$

$\to S_{HBC}\le 9$ (đpcm)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

2) a) Vẽ đồ thị (cậu tự vẽ)

$(d) : y = kx - 2k + 4 (*)$

Thay tọa độ điểm $C(2; 4)$ vào $(*)$:

$ 4 = k.2 - 2k + 4 ⇔ 4 = 4 $ thỏa mãn với $∀k$

$ ⇒ C∈ (d)$ hay $(d)$ luôn đi qua $C(2; 4)$ cố định (đpcm)

b)  Xét 2 điểm $ B(- 4; 4); C(2; 4) $ ta có :

$ BC² = (x_{C} - x_{B})² + (y_{C} - y_{B})² = (2 - (- 4))² + (4 - 4)² = 36$

$ ΔHBC$ vuông tại $H$ nên ta có $: BH² + CH² = BC² = 36$

$ ⇒ S(HBC) = \dfrac{BH.CH}{2} ≤ \dfrac{BH² + CH²}{4} = \dfrac{36}{4} = 9 (cm²) (đpcm)$

3)

a) Cậu tự giải

b) $ac = 1.(- 12) = - 12 < 0 ⇒ PT (*)$

luôn có 2 no pb $x_{1}; x_{2}$ với $∀m$

Theo vi ét :
$ x_{1} + x_{2} = - 4(m - 1) (1); x_{1}x_{2} = - 12 (2)$

$ x_{2}$ là nghiệm của $(*)$ nên thỏa mãn $(*)$

$ x_{2}^{2} + 4(m - 1)x_{2} - 12 = 0$

$ ⇔ 16 - 4mx_{2} = x_{2}^{2} - 4x_{2} + 4$

$ ⇔ 4(4 - mx_{2}) = (x_{2} - 2)²$

Theo GT :

$ 4|x_{1} - 2|\sqrt{4 - m x_{2}} = (x_{1} + x_{2} - x_{1}x_{2} - 8)²$

$ ⇔ 2|x_{1} - 2|\sqrt{4(4 - m x_{2})} = (x_{1} + x_{2} - x_{1}x_{2} - 8)²$

$ ⇔ 2|x_{1} - 2|\sqrt{(x_{2} - 2)²} = (x_{1} + x_{2} - x_{1}x_{2} - 8)²$

$ ⇔ 2|x_{1} - 2|.|x_{2} - 2|= (x_{1} + x_{2} - x_{1}x_{2} - 8)²$

$ ⇔ 2|x_{1}x_{2} - 2(x_{1} + x_{2}) + 4|= (x_{1} + x_{2} - x_{1}x_{2} - 8)²$

$ ⇔ 2|- 12 - 2(- 4(m - 1)) + 4|= (- 4(m - 1) - (- 12) - 8)²$

$ ⇔ 2|8m - 16|= (- 4m + 8)²$

$ ⇔ |m - 2| = (m - 2)² ⇔ |m - 2|² - |m - 2| = 0$

$ ⇔ |m - 2|(|m - 2| - 1) = 0$

TH1 $: |m - 2| = 0 ⇔ m - 2 = 0 ⇔ m = 2$

TH2 $: |m - 2| - 1 = 0 ⇒ |m - 2| = 1$

$ ⇔ m - 2 = ± 1 ⇔ m = 1; m = 3$

Kết luận : $ m = 1; m = 2; m = 3$