a) \(a^2+b^2-2ab\\=(a-b)^2\)
Vì \( (a-b)^2\ge 0→a^2+b^2-2ab\ge 0\)
\(→\) Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Vậy BĐT được chứng minh và dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)
b) \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\\↔\dfrac{a^2+b^2}{2}-ab\ge 0\\↔\dfrac{a^2+b^2-2ab}{2}\ge 0\\↔\dfrac{(a-b)^2}{2}\ge 0\)
Vì \( (a-b)^2\ge 0,2>0→\dfrac{(a-b)^2}{2}\ge 0\)
\(→\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)
\(→\) Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Vậy BĐT được chứng minh và dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
c) \(a(a+2)<(a+1)^2\\↔a^2+2a<a^2+2a+1\\↔a^2+2a-a^2-2a<1\\↔0<1(lđ)\)
Vậy BĐT được chứng minh
d) \(m^2+n^2+2≥2m+2n\\↔m^2+n^2+2-2m-2n≥0\\↔(m^2-2m+1)+(n^2-2n+1)≥0\\↔(m-1)^2+(n-1)^2≥ 0\)
Vì \( (m-1)^2≥0,(n-1)^2≥0→(m-1)^2+(n-1)^2≥0\)
\(→\) Dấu "=" xảy ra khi \( m=n=1\)
Vậy BĐT được chứng minh và dấu "=" xảy ra khi \(m=n=1\)
e) Áp dụng BĐT Cô si với các số dương
\(a+b≥2\sqrt{ab}\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}≥2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Nhân các vế của BĐT
\( (a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})≥2\sqrt{ab}.\dfrac{2}{\sqrt{ab}}=4\)
\(→\) Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Vậy BĐT được chứng minh và dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
