Vì a,b,c là các số dương nên P được biến đổi như sau:
$\begin{array}{l} P = \dfrac{{ab}}{{{c^2}(a + b)}} + \dfrac{{ac}}{{{b^2}(a + c)}} + \dfrac{{bc}}{{{a^2}(b + c)}}\\ P = \dfrac{{ab}}{{c\left( {ca + ab} \right)}} + \dfrac{{ac}}{{b\left( {ab + ac} \right)}} + \dfrac{{bc}}{{a\left( {ab + ac} \right)}}\\ P = \dfrac{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}{{abc\left( {ca + ab} \right)}} + \dfrac{{{{\left( {ac} \right)}^2}}}{{abc\left( {ab + ac} \right)}} + \dfrac{{{{\left( {bc} \right)}^2}}}{{abc\left( {ab + ac} \right)}} \end{array}$
Áp dụng bất đẳng thức $B-C-S$ dạng Engel ta được:
$\begin{array}{l} P = \dfrac{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}{{abc\left( {ca + ab} \right)}} + \dfrac{{{{\left( {ac} \right)}^2}}}{{abc\left( {ab + ac} \right)}} + \dfrac{{{{\left( {bc} \right)}^2}}}{{abc\left( {ab + ac} \right)}}\\ \ge \dfrac{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}{{2abc\left( {ab + bc + ca} \right)}} = \dfrac{{ab + bc + ca}}{{2abc}} \ge \dfrac{{3\sqrt[3]{{\left( {ab.bc.ca} \right)}}}}{{2abc}}\\ = \dfrac{{3\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}}}{{2\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^3}}}}} = \dfrac{3}{{2\sqrt[3]{{abc}}}} \ge \dfrac{3}{{2.\dfrac{{a + b + c}}{3}}} = \dfrac{{a + b + c}}{2} = \dfrac{3}{2} \end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}{l} a + b + c = 3\\ a = b = c \end{array} \right. \Rightarrow a = b = c = 1$
