Đáp án:
Giải thích các bước giải:
đặt A,B,C>0
áp dụng bất đẳng thức caunchy vào pt:
A²+B²≥2AB
ta có B²+C²≥2BC ⇒ 2(A²+B²+C²)≥2(AB+BC+CA)
C²+A²≥2CA
Cộng 1 vế A²+B²+C²
⇒3(A²+B²+C²)≥(A+B+C)²
⇔A²+B²+C²≥(A+B+C)²/3
THAY A=a+1/a ,B=b +1/b,C= c+1/c
⇒(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)² ≥ 13(a+1/a+b+1/b+c+1/c)²
⇔(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²≥13(a+b+c+(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c)²
⇔(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²≥1/3(1+1+b/a+c/a+1+a/b+c/b+1+a/c+b/c)²
⇔(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²≥1/3(4+a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b)²
áp dụng bất đẳng thức caunchy:
a/b +b/a≥2√(a/b . b/a) a/b+b/a ≥2
ta có:b/c + c/b≥2√(b/c . c/b)⇒ b/c+c/b ≥2 ⇒(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²≥1/3(4+2+2+2)²
c/a +a/c≥2√(a/c . c/a) c/a+a/c ≥2
⇒(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²≥1/3 . 10²
⇒(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²≥100/3
⇒(a+1/a)²+(b+1/b)²+(c+1/c)²≥33(đpcm)
