Đáp án:
$\\$
`a,`
Do `M` nằm giữa `A` và `B`
`-> AM + MB = AB`
Do `C` nằm giữa `A` và `N`
`-> AC + CN = AN`
Có : `AM + AN = 2 AB` (giả thiết)
`-> AM + AN = AB + AB`
thay `AB = AM + MB` (chứng minh trên), `AN = AC + CN` (chứng minh trên)
`-> AM + AC + CN = AM + MB + AB`
mà `AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`), `AM = AM` (Luôn đúng)
`-> CN = BM`
$\\$
$\\$
$b,$
Qua `M` kẻ $MH//AN (H ∈ BC)$
`-> hat{BMH} = hat{ACB}` (2 góc đồng vị)
mà `hat{ABC} = hat{ACB}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> hat{BMH} = hat{ABC} (= hat{ACB})`
`-> ΔBMH` cân tại `M`
`-> BM = MH`
mà `BM = CN` (chứng minh trên)
`-> MH = CN (= BM)`
Do $MH//AN$ (Cách dựng)
`->` \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{HMI}=\widehat{CNI}\\ \widehat{MHI}=\widehat{NCI}\end{array} \right.\) (2 góc so le trong)
Xét `ΔMIH` và `ΔNIC` có :
`MH =CN` (chứng minh trên)
`hat{MHI} = hat{NCI}` (chứng minh trên)
`hat{HMI} = hat{CNI}` (chứng minh trên)
`-> ΔMIH = ΔNIC` (góc - cạnh - góc)
`-> MI =NI` (2 cạnh tương ứng)
hay `I` là trung điểm của `MN`
mà `BC` cắt `MN` tại `I`
`-> BC` đi qua trung điểm `I` của `MN`
