$a+b+c=0$
⇔$(a+b+c)^{2}=0$
⇔$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=0$
⇔$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=0$
⇔$a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+bc+ca)$
Ta có:
$2(a^{4}+b^{4}+c^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
⇔$2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}$
⇔$a^{4}+b^{4}+c^{4}=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
⇔$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
⇔$[-2(ab+bc+ca)]^{2}=4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
⇔$4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+8(ab^{2}c+abc^{2}+a^{2}bc)=4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
⇔$8(ab^{2}c+abc^{2}+a^{2}bc)=0$
⇔$8abc(a+b+c)=0$
⇔$0=0$
⇒$2(a^{4}+b^{4}+c^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$ (đpcm)
