Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt $ a = x - y; b = y - z; c = z - x$
$ ⇒ a + b + c = 0$
Ta có $: b^{4} + c^{4} = (b² + c²)² - 2b²c²$
$ = [(b + c)² - 2bc]² - 2b²c² $
$ = [(- a)² - 2bc]² - 2b²c² = a^{4} - 4a²bc + 2b²c² (1)$
Tương tự hoán vị vòng quanh ta có:
$ c^{4} + a^{4} = b^{4} - 4ab²c + 2c²a²(2)$
$ a^{4} + b^{4} = c^{4} - 4abc² + 2a²b²(3)$
Do đó :
$ 0 = (a + b + c)(a^{4} + b^{4} + c^{4})$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + a(b^{4} + c^{4}) + b(c^{4} + a^{4}) + c(a^{4} + b^{4})$
$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + a(a^{4} - 4a²bc + 2b²c² ) + b(b^{4} - 4ab²c + 2c²a²) + c(c^{4} - 4abc² + 2a²b²)$
$ = 2(a^{5} + b^{5} + c^{5}) - 2abc[2(a² + b² + c²) - (ab + bc + ca)]$
$ = 2(a^{5} + b^{5} + c^{5}) - 2abc[2(a + b + c)² - 5(ab + bc + ca)]$
$ = 2(a^{5} + b^{5} + c^{5}) + 10abc(ab + bc + ca)$
$ ⇒ a^{5} + b^{5} + c^{5} = - 5abc(ab + bc + ca)$
Khai triển $: ab + bc + ca = (xy + yz + zx) - (x² + y² + z²) $ ( bạn tự làm)
Nên ta có:
$ (x - y)^{5} + (y - z)^{5} + (z - x)^{5} = 5(x - y)(y - z)(x - x)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)$
