Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a/ Ta có: $\widehat{MAC}+\widehat{MDC}=90^0+90^0=180^0$
$⇒ ACDM$ là tứ giác nội tiếp
b/ Có: $\widehat{NDC}+\widehat{NBC}=90^0+90^0=180^0$
$⇒ NBCD$ là tứ giác nội tiếp
Lại có: $\widehat{DMC}=\widehat{DAC}$ ($ACDM$ là tứ giác nội tiếp)
Mà $\widehat{DAC}=\widehat{DBN}$ (cùng chắn cung $BD$)
$\widehat{DBN}=\widehat{DCN}$ ($NBCD$ là tứ giác nội tiếp)
nên $\widehat{DMC}=\widehat{DCN}$
$⇒ \widehat{DMC}+\widehat{DNC}=\widehat{DCN}+\widehat{DNC}$
$⇒ 180^0-\widehat{MCN}=90^0$
$⇒ \widehat{MCN}=90^0$
Khi đó, $\widehat{ICK}+\widehat{IDK}=90^0+90^0=180^0$
$⇒ DICK$ là tứ giác nội tiếp
$⇒ \widehat{DIK}=\widehat{DCK}=\widehat{DBN}=\widehat{DAB}$
hay $\widehat{DIK}=\widehat{DAB}$
và ở vị trí đồng vị
$⇒ IK // AB$
Ta có: $\dfrac{IH}{AO}=\dfrac{DH}{DO}=\dfrac{HK}{BO}$
Mà $AO=BO$ nên $IH=HK$
Hay $H$ là trung điểm của $BC$
c/ Xét $ΔMAC$ và $ΔCBN$
Có: $\widehat{MAC}=\widehat{CBN}$ $(=90^0)$
$\widehat{AMC}=\widehat{BCN}$ (cùng phụ $\widehat{MCA}$)
$⇒ ΔMAC \backsim ΔCBN$
$⇒ \dfrac{AM}{BC}=\dfrac{AC}{BN}$
$⇒ AM.BN=BC.AC$
Mà $BC.AC \leq \dfrac{(BC+AC)^2}{4}=\dfrac{AB^2}{4}=\dfrac{4R^2}{4}=R^2$
nên $AM.BN \leq R^2$
Dấu $"="$ xảy ra khi $BC=AC ⇔ C ≡ O$
Vậy $AM.BN (Max)=R^2$ khi $C≡O$
